1.1.2 证明的方法

通常使用的证明方法有以下三种:

• 直接证明法;

• 间接证明法;

• 数学 (或算术) 归纳法.

此外还有构造性证明法.

1.1.2.1 直接证明法

从已被证明的定理 (前提 $p$ ) 出发,推导出新的定理 (结论 $q$ ). 为了获得结论, 这里最常用的逻辑步骤是蕴涵 (implication) 和等价 (equivalence).

1. 借助蕴涵的直接证明

蕴涵 $p\Rightarrow q$ 是指结论的正确性可由前提的正确性推出 (参见第 433 页 5.1.1,3., 表 5-1 中的 “蕴涵”).

$◼$ 证明不等式 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ ,此处 $a>0,b>0$ . 前提是众所周知的二项式公式 ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$ . 两边同减 $4ab$ 得到 ${(a+b)}^2-4ab={(a-b)}^2\ge 0$ . 如果仅限于正方根,因为 $a>0,b>0$ ,由上式即可获得结论命题.

2. 借助等价的直接证明

证明通过验证一个等价的命题来完成. 这实际上意味着从 $p$ 转变为 $q$ 过程中所使用的所有算术运算必须是唯一可逆的.

$◼$ 证明不等式 $1+a+a^2+\cdots +a^n<\frac{1}{1-a}$ ,此处 $0<a<1$ .

以 $1-a$ 乘 $1+a+a^2+\cdots +a^n$ 得 $1-a+a-a^2+a^2-a^3\pm \cdots +a^n-a^{n+1}=$ $1-a^{n+1}<1$ . 由假设 $0<a^{n+1}<1$ ,因此最后这个不等式成立. 因为所有用到的算术运算皆唯一可逆, 所要证明的不等式也成立.

1.1.2.2 间接证明法或反证法

要证明命题 $q$ : 需从该命题的否命题 $\overline{q}$ 出发,由 $\overline{q}$ 导出一个假命题 $r$ ,即 $\overline{q}\Rightarrow$ $r$ (参见第 436 页 5.1.1,7.). 在这样的情况下, $\overline{q}$ 必定为假,因为根据蕴涵法由假的假设必定推出假结论 (参见第 433 页 5.1.1,3.,真值表). 若 $\overline{q}$ 假,则 $q$ 必真.

$◼$ 证明 $\sqrt{2}$ 是无理数. 假设 $\sqrt{2}$ 是有理数,则等式 $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ 成立, $a,b$ 是整数且 $b\ne 0$ . 假设 $a,b$ 互素,即它们没有任何公因数,那就可以得到 ${\sqrt{2}}^2=2=\frac{a^2}{b^2}$ 或 $a^2=2b^2$ ,从而 $a^2$ 是一个偶数,但这仅当 $a=2n$ 为偶数时才能成立. 由此推得 $a^2=4n^2=2b^2$ ,因此 $b$ 也应为偶数. 这显然与 $a,b$ 互素之假设相矛盾.

1.1.2.3 数学归纳法

依赖于自然数 $n$ 的定理可以用数学归纳法来证明. 数学归纳法的原理如下: 若命题对自然数 $n_0$ 成立,并且若命题对某个自然数 $n\ge n_0$ 成立可推出其对 $n+1$ 也成立,那么命题对任意自然数 $n\ge n_0$ 均成立. 据此,数学归纳法证明步骤如下:

(1) 归纳的基础: 证明命题对 $n=n_0$ 成立,在多数情况下可以选取 $n_0=1$ .

(2)归纳假设:设命题对某个整数 $n$ 成立 (前提 $p$ ).

(3)归纳结论:形成对 $n+1$ 的命题 (结论 $q$ ).

(4) 蕴涵证明: $p\Rightarrow q$ .

(3) 和 (4) 一起称为归纳步骤或从 $n$ 到 $n+1$ 的逻辑演绎.

$◼$ 证明公式 $s_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n}{n+1}$ .

数学归纳法证明步骤如下:

(1) $n=1:s_1=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{1+1}$ ,公式显然成立.

(2) 假设 $s_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n}{n+1}$ 对某个 $n\ge 1$ 成立.

(3) 假设 (2) 成立,要证明 $s_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$ .

(4) 证明:

$$s_{n+1}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n\left(n+1\right)}+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$$$$=s_n+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n^2+2n+1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$$$$=\frac{{(n+1)}^2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{n+2}.$$

1.1.2.4 构造性证明法

例如, 在逼近论中, 一条存在性定理的证明通常就是给出一个构造程序, 也就是说, 其证明过程就是给出计算满足该存在性定理的解的方法.

$◼$ 三阶样条插值函数 (参见第 1293 页 19.7.1.1) 的存在性可以证明如下: 证明满足存在性定理要求的样条函数的系数计算结果得到一个三对角的线性方程组, 而该方程组有唯一解 (参见第 1295 页 19.7.1.2).