4.2.2 行列式计算法则

由拉普拉斯展开可知, 下列关于行的命题关于列也正确.

行列式值与展开时行的选取无关.

在展开行列式时, 若一行的余子式代换为另一行的余子式, 则结果为零:

\begin{matrix} (4.57) & \sum_{ν = 1}^{n} a_{μ ν} A_{λ ν} = 0 (μ, λ 固定, λ \neq μ) . \end{matrix}

这个关系式和拉普拉斯展开产生

\begin{matrix} (4.58) & A_{adj} A = A A_{adj} = (det A) I . \end{matrix}

$A$ 的伴随矩阵是由 $A$ 的代数余子式组成的矩阵的转置,记作 $A_{adj}$ . 不要将此伴随矩阵与复矩阵的共轭转置 $A^{H}$ (参见第 362 页 (4.4)) 相混淆. 由前面的等式我们得到逆矩阵

\begin{matrix} (4.59) & A^{- 1} = \frac{1}{det A} A_{adj} . \end{matrix}

下列情形行列式等于零:

a) 有一行只含元素 0 ;

b) 有两行相等;

c) 有一行是其他某些行的线性组合.

下列情形行列式的值不变:

a) 交换行和列, 即按主对角线翻转行列式, 不影响它的值:

\begin{matrix} (4.60) & det A = det A^{T}; \end{matrix}

b) 将任一行加到另一行, 或从另一行减去这一行;

c) 将任何行的倍数加到另一行, 或从另一行减去这一行的倍数;

d) 将其他行的线性组合加到任一行.

若在一个行列式交换两行位置, 则行列式变号.

如果用 $α$ 乘以某行各元素,那么行列式的值也乘以这个数. 下面的公式表明这与(n, n)矩阵 $A$ 与数 $α$ 相乘之间的不同:

\begin{matrix} (4.61) & det (α A) = α^{n} det A . \end{matrix}

两个行列式相乘可以归结为它们的矩阵相乘:

\begin{matrix} (4.62) & (det A) (det B) = det (A B) . \end{matrix}

因为 $det A = det A^{T} (见 (4.60))$ ,我们有等式

\begin{matrix} (4.63) & (det A) (det B) = det (A B) = det (A B^{T}) = det (A^{T} B) = det (A^{T} B^{H}), \end{matrix}

即容许取行与列、行与行、列与行或列与列的标量积.

设 $n$ 阶行列式的各元素是参数 $t$ 的可微函数,即 $a_{μ ν} = a_{μ ν} (t)$ . 为了对 $t$ 微分行列式,可以每次微分一个行,最后将得到的 $n$ 个行列式相加.

$◼$ 对于大小为(3,3)的行列式有

\frac{d}{d t} | \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | = | \begin{array}{lll} a_{11}^{'} & a_{12}^{'} & a_{13}^{'} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | + | \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}^{'} & a_{22}^{'} & a_{23}^{'} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | + | \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}^{'} & a_{32}^{'} & a_{33}^{'} \end{array} | .

4.2.2 行列式计算法则 ​