14.2.2 柯西积分定理

14.2.2.1 单连通区域的柯西积分定理

如果在一个单连通区域 $G$ 中函数 $f\left(z\right)$ 是解析的,则成立两个等价的陈述:

a) 沿着 $G$ 中任意一条闭曲线 $C$ ,积分等于零:

$$\begin{array}{}\text{(14.40)}& \text{(C)}\oint f\left(z\right)\mathrm{d}z=0\text{.}\end{array}$$

b) 积分 ${\int }_A^{B}f\left(z\right)\mathrm{d}z$ 的值与连接点 $A$ 和 $B$ 的,并在 $G$ 中的曲线 $C$ 无关,即它仅依赖于 $A$ 和 $B$ .

这就是柯西积分定理 (Cauchy integral theorem).

14.2.2.2 多连通区域的柯西积分定理

如果 $C,C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 是一些简单闭曲线,使得曲线 $C$ 包围了所有的 $C_{\nu }(\nu =$ $1,2,\cdots ,n)$ ,诸曲线 $C_{\nu }$ 互不包含和相交,并且函数 $f\left(z\right)$ 在包含诸曲线以及 $C$ 和诸 $C_{\nu }$ 之间区域的区域 $G$ —— 图 14.35 中的阴影区域 —— 中是解析的,以及诸曲线 $C,C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 有相同的定向,如都是逆时针方向,则有

$$\begin{array}{}\text{(14.41)}& {\oint }_{C}f\left(z\right)\mathrm{d}z={\oint }_{C_1}f\left(z\right)\mathrm{d}z+{\oint }_{C_2}f\left(z\right)\mathrm{d}z+\cdots +{\oint }_{C_n}f\left(z\right)\mathrm{d}z.\end{array}$$

当一条闭曲线 $C$ 还包含了函数 $f\left(z\right)$ 的一些奇点在内时 (参见第 984 页 14.3.5.5), 这个定理对于沿着曲线 $C$ 计算 $f\left(z\right)$ 的积分是很有用的.

$◼$ 计算积分 ${\oint }_C\frac{z-1}{z\left(z+1\right)}\mathrm{d}z$ ,其中 $C$ 是包含原点和点 $z=-1$ 的一条简单闭曲线 (图 14.36). 应用柯西积分定理,沿着 $C$ 的积分等于沿着 $C_1$ 和 $C_2$ 的积分之和, 其中 $C_1$ 是以原点为心,半径为 $r_1=1/2$ 的圆周, $C_2$ 是以 $z=-1$ 为心,半径为 $r_2=1/2$ 的圆周. 被积函数可以被分解为部分分式. 因而得到: ${\oint }_C\frac{z-1}{z\left(z+1\right)}\mathrm{d}z=$ ${\oint }_{C_1}\frac{2\mathrm{d}z}{z+1}+{\oint }_{C_2}\frac{2\mathrm{d}z}{z+1}-{\oint }_{C_1}\frac{\mathrm{d}z}{z}-{\oint }_{C_2}\frac{\mathrm{d}z}{z}=0+4\pi \mathrm{i}-2\pi \mathrm{i}=2\pi \mathrm{i}$ . (与第 975 页 14.2.1.2, 3. 例中的积分比较.)