1.2.2 等差级数

一阶等差级数是其项构成等差数列的有限级数, 即相邻两项的差是常数:

\begin{matrix} (1.52a) & Δ a_{i} = a_{i + 1} - a_{i} = d = 常数,故 a_{i} = a_{0} + i d . \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (1.52b) & s_{n} = a_{0} + (a_{0} + d) + (a_{0} + 2 d) + \dots + (a_{0} + n d), \end{matrix}

\begin{matrix} (1.52c) & s_{n} = \frac{a_{0} + a_{n}}{2} (n + 1) = \frac{n + 1}{2} (2 a_{0} + n d) . \end{matrix}

$k$ 阶等差级数是序列 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 的 $k$ 阶差分 $Δ^{k} a_{i}$ 为常数的有限级数. 高阶差分可通过公式

\begin{matrix} (1.53a) & Δ^{v} a_{i} = Δ^{v - 1} a_{i + 1} - Δ^{v - 1} a_{i} (v = 2, 3, \dots, k) \end{matrix}

计算. 由差分模式(也称为差分表或三角模式), 可以很方便地计算高阶差分:(1.53b)

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对于其通项与前 $n$ 项和,有下述公式成立:

a_{i} = a_{0} + (\begin{matrix} i \\ 1 \end{matrix}) Δ a_{0} + (\begin{matrix} i \\ 2 \end{matrix}) Δ^{2} a_{0} + \dots + (\begin{matrix} i \\ k \end{matrix}) Δ^{k} a_{0} (i = 1, 2, \dots, n),

(1.53c)

s_{n} = (\begin{matrix} n + 1 \\ 1 \end{matrix}) a_{0} + (\begin{matrix} n + 1 \\ 2 \end{matrix}) Δ a_{0} + (\begin{matrix} n + 1 \\ 3 \end{matrix}) Δ^{2} a_{0} + \dots + (\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) Δ^{k} a_{0} .

(1.53d)

1.2.2 等差级数 ​