1.1.6 整有理式

1.1.6.1 以多项式形式表示

任一整有理式通过单项式和多项式的加法、减法、乘法等基本变换, 可转化为多项式形式.

$$\left(-a^3+2a^{2}x-x^3\right)\left(4a^2+8ax\right)+\left(a^3{x}^2+2a^2{x}^3-4a{x}^4\right)-\left(a^5+4a^3{x}^2-4a{x}^4\right)$$$$=-4a^5+8a^{4}x-4a^2{x}^3-8a^{4}x+16a^3{x}^2-8a{x}^4+a^3{x}^2$$$$+2a^2{x}^3-4a{x}^4-a^5-4a^3{x}^2+4a{x}^4$$$$=-5a^5+13a^3{x}^2-2a^2{x}^3-8a{x}^4.$$

1.1.6.2 多项式的因式分解

多项式通常可分解成单项式和多项式的乘积. 可通过提取公因式、分组、利用方程的特殊公式和特殊性质完成分解.

$◼\mathbf{A}$: 提取公因式: $8a{x}^{2}y-6b{x}^3{y}^2+4c{x}^5=2x^2\left(4ay-3bx{y}^2+2c{x}^3\right)$ .

$◼\mathbf{B}$: 分组解法: $6x^2+xy-y^2-10xz-5yz=6x^2+3xy-2xy-y^2-10xz$$-5yz=3x\left(2x+y\right)-y\left(2x+y\right)-5z\left(2x+y\right)=\left(2x+y\right)\left(3x-y-5z\right).$

$◼\mathbf{C}$: 利用方程的性质 (参见第 56 页 1.6.3.1): $P\left(x\right)=x^6-2x^5+4x^4+2x^3-5x^2$ .

a) 提取公因子 $x^2$ .

b) 由于 ${\alpha }_1=1$ 和 ${\alpha }_2=-1$ 是方程 $P\left(x\right)=0$ 的根, $P\left(x\right)$ 除以 $x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)=$ $x^4-x^2$ 可得商 $x^2-2x+5$ . 由于 $p=-2,q=5,\frac{p^2}{4}-q<0$ ,商不能再分解为实因子, 故最终分解式为

$$x^6-2x^5+4x^4+2x^3-5x^2=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-2x+5\right).$$

1.1.6.3 特殊公式

$$\begin{array}{}\text{(1.28)}& {(x\pm y)}^2=x^2\pm 2xy+y^2,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.29)}& {(x+y+z)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz,\end{array}$$$${(x+y+z+\cdots +t+u)}^2=x^2+y^2+z^2+\cdots +t^2+u^2$$$$+2xy+2xz+\cdots +2xu$$$$\begin{array}{}\text{(1.30)}& +2yz+\cdots +2yu+\cdots +2tu,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.31)}& {(x\pm y)}^3=x^3\pm 3x^{2}y+3x{y}^2\pm y^3.\end{array}$$

计算表达式 ${(x\pm y)}^n$ 可借助于二项式公式 (参见 (1.36a)-(1.37a)).

$$\begin{array}{}\text{(1.32)}& \left(x+y\right)\left(x-y\right)=x^2-y^2,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.33)}& \frac{x^n-y^n}{x-y}=x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots +x{y}^{n-2}+y^{n-1}\left(n\text{ 是整数,且 }n>1\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.34)}& \frac{x^n+y^n}{x+y}=x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots -x{y}^{n-2}+y^{n-1}\left(n\text{ 是奇数,且 }n>1\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.35)}& \frac{x^n-y^n}{x+y}=x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots +x{y}^{n-2}-y^{n-1}\left(n\text{ 是偶数,且 }n>1\right).\end{array}$$

1.1.6.4 二项式定理

1. 两数代数和的幂 (第一类二项式公式)

公式

$${(a+b)}^n=a^n+n{a}^{n-1}b+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}{a}^{n-2}{b}^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!}{a}^{n-3}{b}^3$$$$\begin{array}{}\text{(1.36a)}& +\cdots +\frac{n\left(n-1\right)\cdots \left(n-m+1\right)}{m!}{a}^{n-m}{b}^m+\cdots +na{b}^{n-1}+b^n\end{array}$$

称为二项式定理,其中 $a$ 和 $b$ 是实数或复数, $n=1,2,\cdots$ . 利用二项式系数,该式可更简便地记为

$${(a+b)}^n=\left(\begin{array}{l}n\\ 0\end{array}\right)a^n+\left(\begin{array}{l}n\\ 1\end{array}\right)a^{n-1}b$$$$+\left(\begin{array}{l}n\\ 2\end{array}\right)a^{n-2}{b}^2+\left(\begin{array}{l}n\\ 3\end{array}\right)a^{n-3}{b}^3$$$$\begin{array}{}\text{(1.36b)}& +\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)a{b}^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)b^n\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(1.36c)}& {(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)a^{n-k}{b}^k.\end{array}$$

2. 两数代数差的幂 (第二类二项式公式)

$${(a-b)}^n=a^n-n{a}^{n-1}b+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}{a}^{n-2}{b}^2-\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!}{a}^{n-3}{b}^3$$$$+\cdots +{(-1)}^m\frac{n\left(n-1\right)\cdots \left(n-m+1\right)}{m!}{a}^{n-m}{b}^m$$$$\begin{array}{}\text{(1.37a)}& +\cdots +{(-1)}^n{b}^n\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(1.37b)}& {(a-b)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right){(-1)}^k{a}^{n-k}{b}^k.\end{array}$$

3. 二项式系数

对于非负整数 $n$ 和 $k$ 的定义:

$$\begin{array}{}\text{(1.38a)}& \left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}\left(0\le k\le n\right),\end{array}$$

其中 $n$ ! 是 1 到 $n$ 这 $n$ 个正整数的乘积,称为 $n$ 的阶乘:

$$\begin{array}{}\text{(1.38b)}& n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n\text{,且定义}0!=1\text{.}\end{array}$$

由表 1.2 的帕斯卡三角形易看出二项式系数. 每行的第一个数和最后一个数等于 1 ; 其余各数是其上一行左、右两数之和. 通过简单计算即可证明下述公式:

$$\begin{array}{}\text{(1.39a)}& \left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.39b)}& \left(\begin{array}{l}n\\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}n\\ 1\end{array}\right)=n,\left(\begin{array}{l}n\\ n\end{array}\right)=1.\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.39c)}& \left(\begin{array}{l}n+1\\ k+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-2\\ k\end{array}\right)+\cdots +\left(\begin{array}{l}k\\ k\end{array}\right).\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.39d)}& \left(\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right)=\frac{n+1}{n-k+1}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right).\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.39e)}& \left(\begin{array}{c}n\\ k+1\end{array}\right)=\frac{n-k}{k+1}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right).\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.39f)}& \left(\begin{array}{c}n+1\\ k+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k+1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right).\end{array}$$

$n$	系数
0	1
	11
	121
	1331
	1641
	1
	20156
6 $⋮$	↑6 2 -

对任意实数值 $\alpha \left(\alpha \in \mathbb{R}\right)$ 和非负整数 $k$ ,可定义二项式系数 $\left(\begin{array}{l}\alpha \\ k\end{array}\right)$ :

$\left(\begin{array}{l}\alpha \\ k\end{array}\right)=\frac{\alpha \left(\alpha -1\right)\left(\alpha -2\right)\cdots \left(\alpha -k+1\right)}{k!}$ ,其中 $k$ 是整数,且 $k\ge 1,\left(\begin{array}{l}\alpha \\ 0\end{array}\right)=1$ .

$$\begin{array}{}\text{(1.40)}& ◼\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ 3\end{array}\right)=\frac{-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}-1\right)\left(-\frac{1}{2}-2\right)}{3!}=-\frac{5}{16}.\end{array}$$

4. 二项式系数的性质

• 二项式系数逐渐增大, 直到二项式公式 (1.36b) 的中间; 然后, 开始减小.

• 对于式子端点和末尾对称的项, 其二项式系数相等.

• $n$ 次二项式的系数之和等于 $2^n$ .

• 奇数项系数之和等于偶数项系数之和.

5. 二项式级数

二项式定理的公式 (1.36a) 也可以扩展到负分数指数情形. 若 $\left|b\right|<a$ ,则 ${(a+b)}^n$ 有无穷收敛级数(参见第 1373 页 21.5):

$$\begin{array}{}\text{(1.41)}& {(a+b)}^n=a^n+n{a}^{n-1}b+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}{a}^{n-2}{b}^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!}{a}^{n-3}{b}^3+\cdots \end{array}$$

1.1.6.5 求两个多项式的最大公因式

次数分别为 $n$ 和 $m\left(n\ge m\right)$ 的两个多项式 $P\left(x\right)$ 和 $Q\left(x\right)$ ,可能有含 $x$ 的公共多项式因子. 这些因子的最小公倍式是多项式的最大公因式.

$P\left(x\right)={(x-1)}^2\left(x-2\right)\left(x-4\right),Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)$ ; 最大公因式是 $\left(x-1\right)\left(x-2\right)$ .

若 $P\left(x\right)$ 和 $Q\left(x\right)$ 没有任何公共因子,则称它们是互素的. 此时,它们的最大公因式是常数.

两个多项式 $P\left(x\right)$ 和 $Q\left(x\right)$ 的最大公因式可由辗转相除法求出,需把它们分解成因式:

(1) $P\left(x\right)$ 除以 $Q\left(x\right)=R_0\left(x\right)$ ,商为 $T_1\left(x\right)$ ,余项为 $R_1\left(x\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(1.42a)}& P\left(x\right)=Q\left(x\right)T_1\left(x\right)+R_1\left(x\right).\end{array}$$

(2) $Q\left(x\right)$ 除以 $R_1\left(x\right)$ ,商为 $T_2\left(x\right)$ ,余项为 $R_2\left(x\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(1.42b)}& Q\left(x\right)=R_1\left(x\right)T_2\left(x\right)+R_2\left(x\right).\end{array}$$

(3) $R_1\left(x\right)$ 除以 $R_2\left(x\right)$ ,商为 $T_3\left(x\right)$ ,余项为 $R_3\left(x\right)$ 等. 两个多项式的最大公因式是最后的非零余项 $R_k\left(x\right)$ . 这种方法因自然数的算术而为大家熟知 (参见第 3 页1.1.1.4).

例如, 当必须分离较高重数的根, 或运用斯图姆法求解方程时, 可使用最大公因式法 (参见第 57 页 1.6.3.2, 2.).