2.5.3 幂函数

下面分 $k>0$ 和 $k<0$ 两种情况 (图 2.24,图 2.25) 讨论幂函数

$$\begin{array}{}\text{(2.53)}& y=a{x}^k=a{x}^{\pm m/n}\left(m,n\text{ 为互素的正整数 }\right).\end{array}$$

此处仅考察 $a=1$ ,因为 $a\ne 1$ 时只需把曲线 $y=x^k$ 沿 $y$ 轴方向拉伸 $\left|a\right|$ 倍,若 $a<0$ ,把该图像沿 $x$ 轴反射即可.

情形 a) $k>0,y=x^{\frac{m}{n}}$ : 曲线形状可用与 $m,n$ 有关的四个特例来说明,如图 2.24. 曲线过点(0,0)和(1,1). 若 $k>1,x$ 轴是曲线在原点的切线 (图 2.24(d)),若 $k<1,y$ 轴是曲线在原点的切线 (图 2.24(a),(b),(c)). 当 $n$ 为偶数时,函数 $y=\pm x^k$ 的图像关于 $x$ 轴有两个对称的分支 (图 2.24(a),(d)),当 $m$ 为偶数时,曲线关于 $y$ 轴对称 (图 2.24(c)). 若 $m,n$ 都是奇数,曲线关于原点对称 (图 2.24(b)). 因此曲线在原点处可能有一个顶点、一个尖点或者拐点 (图 2.24), 但没有渐近线.

情形 b) $k<0,y=x^{-\frac{m}{n}}$ : 曲线形状可用与 $m,n$ 有关的三个特例来说明,如图 2.25. 曲线为双曲型曲线,渐近线为坐标轴 (图 2.25), $x=0$ 为间断点. $\left|k\right|$ 越大, 曲线趋近 $x$ 轴的速度越快,趋近 $y$ 轴的速度越慢. 曲线的对称性与前面 $k>0$ 时的相同,也与 $m,n$ 的奇偶性有关. 函数没有极值.