1.2.5 均值

参见第 1088 页 16.3.2.2, 1.和第 1108 页 16.4.1.3, 1..

1.2.5.1 算术平均或算术平均值

$n$ 个数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的算术平均值是

$$\begin{array}{}\text{(1.65a)}& x_{\mathrm{A}}=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k.\end{array}$$

对于两个数 $a$ 和 $b$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(1.65b)}& x_{\mathrm{A}}=\frac{a+b}{2}.\end{array}$$

数值 $a,x_{\mathrm{A}},b$ 构成等差数列.

1.2.5.2 几何平均或几何平均值

$n$ 个正数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的几何平均值是

$$\begin{array}{}\text{(1.66a)}& x_{\mathrm{G}}=\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}={(\prod _{k=1}^n{a}_k)}^{\frac{1}{n}}.\end{array}$$

对于两个正数 $a$ 和 $b$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(1.66b)}& x_{\mathrm{G}}=\sqrt{ab}.\end{array}$$

数值 $a,x_{\mathrm{G}},b$ 构成等比数列. 若 $a$ 和 $b$ 是给定的直线段,则可借助于图 1.3(a)或图 1.3(b)中的任一种方式构造长度为 $x_{\mathrm{G}}=\sqrt{ab}$ 的线段.

根据黄金分割, 几何平均值的一种特殊情形可通过分割直线段得到 (参见第 260 页 $3.5.2.3,\left(3\right))$ .

1.2.5.3 调和平均

$n$ 个数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n\left(a_i\ne 0;i=1,2,\cdots ,n\right)$ 的调和平均值是

$$\begin{array}{}\text{(1.67a)}& x_{\mathrm{H}}={\left[\frac{1}{n}(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n})\right]}^{-1}={[\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}]}^{-1}.\end{array}$$

对于两个数 $a$ 和 $b$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(1.67b)}& x_{\mathrm{H}}={\left[\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\right]}^{-1},x_{\mathrm{H}}=\frac{2ab}{a+b}.\end{array}$$

1.2.5.4 二次均值

$n$ 个数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的二次均值是

$$\begin{array}{}\text{(1.68a)}& x_{\mathrm{Q}}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\right)}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k^2}.\end{array}$$

对于两个数 $a$ 和 $b$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(1.68b)}& x_{\mathrm{Q}}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.\end{array}$$

二次均值在观测误差理论中很重要.

1.2.5.5 两个正数均值之间的关系

对于 $x_{\mathrm{A}}=\frac{a+b}{2},x_{\mathrm{G}}=\sqrt{ab},x_{\mathrm{H}}=\frac{2ab}{a+b},x_{\mathrm{Q}}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ ,有

(1) 若 $a<b$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(1.69a)}& a<x_{\mathrm{H}}<x_{\mathrm{G}}<x_{\mathrm{A}}<x_{\mathrm{Q}}<b,\end{array}$$

(2) 若 $a=b$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(1.69b)}& a=x_{\mathrm{A}}=x_{\mathrm{G}}=x_{\mathrm{H}}=x_{\mathrm{Q}}=b.\end{array}$$