12.1.1 向量空间概念

一个非空集 $V$ 称作标量域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间或线性空间,是指存在 $V$ 上的两种运算 ——V 中元素的加法和 $\mathbb{F}$ 中标量与元素的乘法 —— 使之具有如下性质:

(1) 对于任意两元素 $x,y\in V$ ,存在元素 $z=x+y$ ,称作两元素之和.

(2) 对于任意元素 $x\in V$ 和任意标量 (数) $\alpha \in \mathbb{F}$ ,存在元素 $\alpha x\in V$ ,称作 $x$ 和 $\alpha$ 之积,使得对于任意元素 $x,y,z\in V$ 和标量 $\alpha ,\beta \in \mathbb{F}$ ,满足如下性质,即所谓向量空间公理 (亦可参见第 489 页 5.3.8.1):

$$\begin{array}{}\text{(12.1)}& \text{(V1)}x+\left(y+z\right)=\left(x+y\right)+z\text{.}\end{array}$$

(V2) 存在元素 $0\in V$ ,即零元,使得 $x+0=x$ .(12.2)

(V3) 对于任意向量 $x\in V$ ,存在元素 $-x$ 使得 $x+\left(-x\right)=0$ .(12.3)

(V4) $x+y=y+x$ .(12.4)

(V5) $1\cdot x=x,0\cdot x=0$ .(12.5)

(V6) $\alpha \left(\beta x\right)=\left(\alpha \beta \right)x$ .(12.6)

(V7) $\left(\alpha +\beta \right)x=\alpha x+\beta x$ .(12.7)

(V8) $\alpha \left(x+y\right)=\alpha x+\alpha y$ .(12.8)

$V$ 称作实或复向量空间,取决于 $\mathbb{F}$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 还是复数域 $\mathbb{C}.V$ 的元素也可以称点,或按照线性代数,称向量. 在泛函分析中一般不使用向量记号 $\overrightarrow{x}$ 或 $\underset{―}{x}$ .

任意两个向量 $x,y\in V$ 的差 $x-y$ 也可以定义为 $x-y=x+\left(-y\right)$ . 从上述定义可知,方程 $x+y=z$ 对于任意 $y,z\in V$ 都可以求解,其解为 $x=z-y$ . 从公理 $\left(\mathrm{V}1\right)\sim \left(\mathrm{V}8\right)$ 可以得到如下进一步的性质:

• 零元是唯一确定的,

• $\alpha x=\beta x$ 且 $x\ne 0$ ,则 $\alpha =\beta$ ,

• $\alpha x=\alpha y$ 且 $\alpha \ne 0$ ,则 $x=y$ ,

• $-\left(\alpha x\right)=\alpha \cdot \left(-x\right)$ .