12.1.7 有序向量空间

12.1.7.1 锥和偏序

如果给定向量空间 $V$ 中一个锥 $C$ ,那么就可以对 $V$ 中某些向量对引入序关系. 就是说,如果对于 $x,y\in V$ 有 $x-y\in C$ ,则我们写作 $x\ge y$ 或 $y\le x$ ,并且称作 $x$ 大于或等于 $y$ ,或 $y$ 小于或等于 $x$ . 偶对(V, C)称作由锥 $C$ 形成的有序向量空间或偏序向量空间. 元 $x$ 称作正的,是指 $x\ge 0$ ,或等价于指 $x\in C$ . 此外,

$$\begin{array}{}\text{(12.25)}& C=\{x\in V:x\ge 0\}.\end{array}$$

如果向量空间 ${\mathbb{R}}^2$ 的序由其第一象限 (锥) $C={\mathbb{R}}_{+}^2$ 所产生,则我们会看到有序向量空间的一种典型的现象. 这就是所谓的 “偏序”, 有时也称作 “半序”. 也就是说,向量空间中只有某些向量对才是可比较的. 例如,考虑向量 $x=\left(1,-1\right)$ 和 $y=\left(0,2\right)$ ,那么无论是向量 $x-y=\left(1,-3\right)$ ,还是向量 $y-x=\left(-1,3\right)$ 都不在 $C$ 中,从而 $x\ge y$ 和 $x\le y$ 都不成立. 向量空间中由锥生成的序只能是一种偏序.

可以证明,二元关系 $\le$ 有如下性质:

(O1) $x\ge x\mathrm{\forall }x\in V$ (自反性).(12.26)

(O2) $x\ge y$ 和 $y\ge z$ 蕴涵 $x\ge z$ (传递性).(12.27)

(O3) $x\ge y$ 和 $\alpha \ge 0,\alpha \in \mathbb{R}$ 蕴涵 $\alpha x\ge \alpha y$ .(12.28)

(O4) $x_1\ge y_1$ 和 $x_2\ge y_2$ 蕴涵 $x_1+x_2\ge y_1+y_2$ .(12.29)

反之,如果在一向量空间 $V$ 中存在一序关系,即对某些元对定义了一种二元关系 $\ge$ ,满足公理 $\left(\mathrm{O}1\right)\sim \left(\mathrm{O}4\right)$ ,并令

$$\begin{array}{}\text{(12.30)}& V_{+}=\{x\in V:x\ge 0\},\end{array}$$

那么可以证明 $V_{+}$ 是一个锥. 在 $V$ 中由 $V_{+}$ 诱导的序 ${\ge }_{V_{+}}$ 等同于原始的序 $\ge$ ,因而在同一向量空间中引入序的这两种可能的方法是等价的.

一个锥 $C\subset V$ 称作生成的或再生的,是指每一元 $x\in V$ 可以表示成 $x=$ $u-v,u,v\in C$ . 它可以写成形式 $V=C-C$ .

$◼\mathbf{A}$: 空间 $s$ (参见第 857 页例B) 中的一个显然的序关系可以由锥

$$\begin{array}{}\text{(12.31)}& C=\left\{x={\left\{{\xi }_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:\xi \ge 0\mathrm{\forall }n\right\}\end{array}$$

诱导而成. 在序列空间中 (参见第 860 页例C), 通常会考虑自然的逐个坐标序. 这可通过所考虑的空间与 $C\left(\text{参见 (12.31)) 之交这个锥诱导而得. 于是这些有序向量}\right)$ 空间中的正元正是具非负分量的序列. 显然, 不同的锥可以定义出不同的序, 从而可以得到与自然序不同的序关系. (见 [12.20], [12.22])

$◼\mathbf{B}$: 在实函数空间 $\mathcal{F}\left(T\right),\mathcal{B}\left(T\right),\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 和 ${\mathcal{C}}^k\left(\left[a,b\right]\right)$ 中 (参见第 857 页 12.1.2,5.), 两个函数 $x$ 和 $y$ 的自然序 $x\ge y$ 定义为 $x\left(t\right)\ge y\left(t\right),\mathrm{\forall }t\in T$ ,或 $\mathrm{\forall }t\in \left[a,b\right]$ . 于是, $x\ge 0$ 当且仅当 $x$ 是 $T$ 上的非负函数. 相应的锥分别记作 ${\mathcal{F}}_{+}\left(T\right),{\mathcal{B}}_{+}\left(T\right)$ 等. 此外,当 $T=\left[a,b\right]$ 时,可以得到 ${\mathcal{C}}_{+}={\mathcal{C}}_{+}\left(T\right)={\mathcal{F}}_{+}\left(T\right)\cap \mathcal{C}\left(T\right)$ .

12.1.7.2 序有界集

设 $E$ 是有序向量空间 $V$ 的任一非空子集. 元 $z\in V$ 称作集合 $E$ 的上界,是指对于每个 $x\in E$ ,都有 $x\le z$ . 元 $u\in V$ 称作集合 $E$ 的下界,是指对于每个 $x\in E$ , 都有 $u\le x$ . 对于满足 $x\le y$ 任意两个元 $x,y\in V$ ,集合

$$\begin{array}{}\text{(12.32)}& \left[x,y\right]=\{v\in V:x\le v\le y\}\end{array}$$

称作序区间或 (o) 区间.

显然,元 $x,y$ 分别是集合 $\left[x,y\right]$ 的下界和上界,而且它们甚至都属于这个集合. 一个集合 $E\subset V$ 称作序有界,或简称 (o)有界,是指 $E$ 是某个序区间的子集,即存在两个元 $u,z\in V$ 使得 $u\le x\le z\mathrm{\forall }x\in E$ ,或等价地, $E\subset \left[u,z\right]$ . 一个集合称作上有界或下有界, 是指它分别有上界或有下界.

12.1.7.3 正算子

一个从有序向量空间 $X=\left(X,X_{+}\right)$ 到有序向量空间 $Y=\left(Y,Y_{+}\right)$ 的线性算子 (见 $\left[12.2\right],\left[12.20\right])T:X\to Y$ 称作正的,是指

$$\begin{array}{}\text{(12.33)}& T\left(X_{+}\right)\subset Y_{+},\text{ 即 }Tx\ge 0,\mathrm{\forall }x\ge 0.\end{array}$$

12.1.7.4 向量格

1. 向量格

在实向量空间 ${\mathbb{R}}^1$ 中,(o) 有界性和 (通常意义下) 有界性是等价的. 熟知,每一个上有界的数集都有上确界: 其所有上界的最小值 (或最小上界, 有时记作 lub). 类似地, 如果一实数集下有界, 则它有下确界, 即最大下界, 有时记作 glb. 在一般的有序向量空间中, 上确界和下确界即使对于有穷集也是无法保证的. 它们必须要利用公理来给出. 一个有序向量空间 $V$ 称作一个向量格或线性格或里斯 (Riesz) 空间,是指对于任意两个元 $x,y\in V$ ,存在元 $z\in V$ 具有如下性质:

(1) $x\le z$ 和 $y\le z$ .

(2) 如果 $u\in V$ 使得 $x\le u$ 和 $y\le u$ ,那么 $z\le u$ .

这样的元是唯一确定的,记作 $x\vee y$ ,称作 $x$ 和 $y$ 的上确界(更确切地说,由 $x$ 和 $y$ 组成的集合的上确界). 在向量格中,也存在任意元 $x$ 和 $y$ 的下确界,记作 $x\wedge y$ . 至于正算子在向量格中的应用, 例如可见 [12.3].

一个向量格称作是戴德金完备的, 或称作K 空间 (康托洛维奇空间), 是指每一个序上有界的非空子集 $E$ 都有上确界 $\mathrm{lub}\left(E\right)$ (等价地,每一个序下有界的非空子集 $E$ 都有下确界 $\mathrm{glb}\left(E\right)$ ).

$◼\mathbf{A}$: 在向量格 $\mathcal{F}\left(\left[a,b\right]\right)$ (参见第 857 页 12.1.2,5.) 中,两个函数 $x$ 和 $y$ 的上确界由下式逐点计算:

$$\begin{array}{}\text{(12.34)}& \left(x\vee y\right)\left(t\right)=max\{x\left(t\right),y\left(t\right)\},\mathrm{\forall }t\in \left[a,b\right].\end{array}$$

在 $\left[a,b\right]=\left[0,1\right]$ 的情形下,设 $x\left(t\right)=1-\frac{1}{3}t,y\left(t\right)=t^2$ (图 12.2),则

$$\begin{array}{}\text{(12.35)}& \left(x\vee y\right)\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}1-\frac{3}{2}t,& 0\le t\le \frac{1}{2},\\ t^2,& \frac{1}{2}<t\le 1.\end{array}\end{array}$$

$◼\mathbf{B}$: 空间 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 和 $\mathcal{B}\left(\left[a,b\right]\right)$ (参见第 857 页 12.1.2,5.) 也是向量格,而有序向量空间 ${\mathcal{C}}^{\left(1\right)}\left(\left[a,b\right]\right)$ 则不是向量格,因为两个可微函数的最大或最小在区间 $\left[a,b\right]$ 上一般是不可微的.

从向量格 $X$ 到向量格 $Y$ 的线性算子 $T:X\to Y$ 称作向量格同态,或向量格的同态,是指对于所有 $x,y\in X$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(12.36)}& T\left(x\vee y\right)=Tx\vee Ty\text{ 和 }T\left(x\wedge y\right)=Tx\wedge Ty.\end{array}$$

2. 元的正、负部和模

对于一个向量格 $V$ 中的任意元 $x$ ,元

$$\begin{array}{}\text{(12.37)}& x_{+}=x\vee 0,x_{-}=\left(-x\right)\vee 0\text{ 和 }\left|x\right|=x_{+}+x_{-}\end{array}$$

分别称作元 $x$ 的正部、负部和模. 对于每个元 $x\in V$ ,三个元 $x_{+},x_{-},\left|x\right|$ 是正的, 这里对于 $x,y\in V$ ,如下关系式成立:

$$\begin{array}{}\text{(12.38a)}& x\le x_{+}\le \left|x\right|,x=x_{+}-x_{-},x_{+}\wedge x_{-}=0,\left|x\right|=x\vee \left(-x\right).\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(12.38b)}& {(x+y)}_{+}\le x_{+}+x_{-},{(x+y)}_{-}\le x_{-}+y_{-},\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|.\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(12.38c)}& x\le y\text{ 蕴涵 }{x}_{+}\le y_{+},x_{-}\ge y_{-}.\end{array}$$

并且对任意 $\alpha \ge 0$ ,

$$\begin{array}{}\text{(12.38d)}& {\left(\alpha x\right)}_{+}=\alpha x_{+},{\left(\alpha x\right)}_{-}=\alpha x_{-},\left|\alpha x\right|=\alpha \left|x\right|.\end{array}$$

在向量空间 $\mathcal{F}\left(\left[a,b\right]\right)$ 和 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中,函数 $x\left(t\right)$ 的正部、负部和模可以由如下公式给出 (图 12.3):

$$\begin{array}{}\text{(12.39a)}& x_{+}\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}x\left(t\right),& x\left(t\right)\ge 0\\ 0,& x\left(t\right)<0\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(12.39b)}& x_{-}\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x\left(t\right)>0,\\ -x\left(t\right),& x\left(t\right)\le 0.\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(12.39c)}& \left|x\right|\left(t\right)=\left|x\left(t\right)\right|,\mathrm{\forall }t\in \left[a,b\right].\end{array}$$