14.5.3 曲线用复形式的描述

一个实变量 $t$ 的复函数可以表示为参数形式:

$$\begin{array}{}\text{(14.91)}& z=x\left(t\right)+\mathrm{i}y\left(t\right)=f\left(t\right).\end{array}$$

当 $t$ 变动时,点 $z$ 画出一条曲线 $z\left(t\right)$ . 现在提出直线、圆周、双曲线、椭圆和对数螺线的方程和相应的图形表示.

1. 直线

a) 直线,通过一个点 $\left(z_1,\phi \right)(\phi$ 是与 $x$ 轴的夹角,图 14.49(a)):

$$\begin{array}{}\text{(14.92a)}& z=z_1+t{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }.\end{array}$$

b) 直线,通过两个点 $z_1,z_2$ (图 14.49(b)):

$$\begin{array}{}\text{(14.92b)}& z=z_1+t\left(z_2-z_1\right).\end{array}$$

2. 圆周

a) 圆周,半径为 $r$ ,圆心在点 $z_0=0$ (图 14.50(a)):

$$\begin{array}{}\text{(14.93a)}& z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\left(\left|z\right|=r\right).\end{array}$$

b) 圆周,半径为 $r$ ,圆心在点 $z_0$ (图 14.50(b)):

$$\begin{array}{}\text{(14.93b)}& z=z_0+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\left(\left|z-z_0\right|=r\right).\end{array}$$

3. 椭圆

a) 椭圆,范式 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (图 14.51(a)):

$$\begin{array}{}\text{(14.94a)}& z=a\cos t+\mathrm{i}b\sin t,\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(14.94b)}& z=c{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}+d{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t},\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(14.94c)}& c=\frac{a+b}{2},d=\frac{a-b}{2},\end{array}$$

即 $c$ 和 $d$ 是任意实数.

b) 椭圆,一般形式 (图 14.51(b)): 中心在 $z_1$ ,轴被旋转了一个角度.

$$\begin{array}{}\text{(14.95)}& z=z_1+c{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}+d{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}.\end{array}$$

这里 $c$ 和 $d$ 是任意复数,它们决定了椭圆轴的长度和旋转角度.

4. 双曲线

双曲线、范式 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (图 14.52):

$$\begin{array}{}\text{(14.96)}& z=a\cosh t+\mathrm{i}b\sinh t,\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(14.97)}& z=c{\mathrm{e}}^t+\overline{c}{\mathrm{e}}^{-t},\end{array}$$

其中 $c$ 和 $\overline{c}$ 是共轭复数:

$$\begin{array}{}\text{(14.98)}& c=\frac{a+\mathrm{i}b}{2},\overline{c}=\frac{a-\mathrm{i}b}{2}.\end{array}$$

5. 对数螺线 (图 14.53)

$$\begin{array}{}\text{(14.99)}& z=a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}bt},\end{array}$$

其中 $a$ 和 $b$ 是任意复数.