11.4.5 解第二类沃尔泰拉积分方程的数值方法

问题是对区间 $I=\left[a,b\right]$ 中的 $x$ 求积分方程

$$\begin{array}{}\text{(11.65)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+{\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y\end{array}$$

的解. 数值方法的目的是用一个求积公式来逼近积分:

$$\begin{array}{}\text{(11.66a)}& {\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y\approx Q_{[a,x]}\left(K\left(x,\cdot \right)\phi (\cdot )\right).\end{array}$$

积分区间和求积公式都依赖于 $x$ . 这个事实被 $Q_{[a,x]}(\cdots )$ 的下标所强调. 用下述方程作为 (11.65) 的逼近:

$$\begin{array}{}\text{(11.66b)}& \overline{\phi }\left(x\right)=f\left(x\right)+Q_{[a,x]}\left(K\left(x,\cdot \right)\overline{\phi }(\cdot )\right).\end{array}$$

函数 $\overline{\phi }\left(x\right)$ 是 (11.65) 解的一个近似. 求积公式中插值节点的数目和安排依赖于 $x$ ,因而不允许有过多的选择. 如果 $\xi$ 是 $Q_{[a,x]}\left(K\left(x,\cdot \right)\overline{\phi }(\cdot )\right)$ 的一个插值节点,则 $\left(K\left(x,\xi \right)\overline{\phi }\left(\xi \right)\right)$ ,特别是 $\overline{\phi }\left(\xi \right)$ 必须是已知的. 为此目的,(11.66b) 的右端首先应该对 $x=\xi$ 求值,这等价于在区间 $\left[a,\xi \right]$ 上的求积. 因而,不可能利用流行的高斯求积公式.

问题是通过选取插值节点 $a=x_0<x_1<\cdots <x_k<\cdots$ ,并用有这些插值节点 $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ 的一个求积公式 $Q_{[a,x_n]}$ . 在插值节点处的函数值用简约记号 ${\phi }_k=\overline{\phi }\left(x_k\right)\left(k=0,1,2,\cdots \right)$ 来表示. 对于 ${\phi }_0$ ,有 (参见第 834 页 11.3.1)

$$\begin{array}{}\text{(11.66c)}& {\phi }_0=f\left(x_0\right)=f\left(a\right),\end{array}$$

利用此, 即有

$$\begin{array}{}\text{(11.66d)}& {\phi }_1=f\left(x_1\right)+Q_{[a,x_1]}\left(K\left(x_1,\cdot \right)\overline{\phi }(\cdot )\right).\end{array}$$

$Q_{[a,x_1]}$ 有插值节点 $x_0$ 和 $x_1$ ,因而对于适当的系数 $w_0$ 和 $w_1$ ,它有形式

$$\begin{array}{}\text{(11.66e)}& Q_{[a,x_1]}\left(K\left(x_1,\cdot \right)\overline{\phi }(\cdot )\right)=w_{0}K\left(x_1,x_0\right){\phi }_0+w_{1}K\left(x_1,x_1\right){\phi }_1.\end{array}$$

继续这个过程, 从一般的关系式

$$\begin{array}{}\text{(11.66f)}& {\phi }_k=f\left(x_k\right)+Q_{[a,x_k]}\left(K\left(x_k,\cdot \right)\overline{\phi }(\cdot )\right),k=1,2,3,\cdots ,\end{array}$$

即逐次确定了 ${\phi }_k$ 的值. 求积公式有下述形式:

$$\begin{array}{}\text{(11.66g)}& Q_{[a,x_k]}\left(K\left(x_k,\cdot \right)\overline{\phi }(\cdot )\right)=\sum _{j=0}^k{w}_{jk}K\left(x_k,x_j\right){\phi }_j.\end{array}$$

因而(11.66f)有形式:

$$\begin{array}{}\text{(11.66h)}& {\phi }_k=f\left(x_k\right)+\sum _{j=0}^k{w}_{jk}K\left(x_k,x_j\right){\phi }_j.\end{array}$$

最简单的求积公式是左矩形公式 (left-handed rectangular formula)(参见第 1253 页 19.3.2.1). 对于这个公式, 其系数是

$$\begin{array}{}\text{(11.66i)}& w_{jk}=x_{j+1}-x_j,j<k,\text{ 并且 }{w}_{kk}=0.\end{array}$$

由此得到方程组

$${\phi }_0=f\left(a\right),$$$$\begin{array}{}\text{(11.67a)}& {\phi }_1=f\left(x_1\right)+\left(x_1-x_0\right)K\left(x_1,x_0\right){\phi }_0,\end{array}$$$${\phi }_2=f\left(x_2\right)+\left(x_1-x_0\right)K\left(x_2,x_0\right){\phi }_0+\left(x_2-x_1\right)K\left(x_2,x_1\right){\phi }_1,$$

更一般地, 有

$$\begin{array}{}\text{(11.67b)}& {\phi }_k=f\left(x_k\right)+\sum _{j=0}^{k-1}\left(x_{j+1}-x_j\right)K\left(x_k,x_j\right){\phi }_j.\end{array}$$

可以利用梯形公式 (trapezoidal formula)(参见第 1253 页 19.3.2.2) 得到积分的更精确的逼近. 为了做得简单些,选取等距的插值节点 $x_k=a+kh,k=0,1,2,\cdots$ :

$$\begin{array}{}\text{(11.67c)}& {\int }_a^{b}g\left(x\right)\mathrm{d}x\approx \frac{h}{2}\left[g\left(x_0\right)+2\sum _{j=1}^{k-1}g\left(x_j\right)+g\left(x_k\right)\right].\end{array}$$

用它来逼近(11.66f),得到

$$\begin{array}{}\text{(11.67d)}& {\phi }_0=f\left(a\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.67e)}& {\phi }_k=f\left(x_k\right)+\frac{h}{2}\left[K\left(x_k,x_0\right){\phi }_0+K\left(x_k,x_k\right){\phi }_k+2\sum _{j=1}^{k-1}K\left(x_k,x_j\right){\phi }_j\right].\end{array}$$

虽然未知值也出现在方程的右端, 但它们是容易被表达的.

注 利用以前的方法也可以逼近非线性积分方程的解. 利用梯形公式确定 ${\phi }_k$ 的值,必须解一个非线性方程. 为了回避它,可以在区间 $\left[a,x_{k-1}\right]$ 上用梯形公式,而在区间 $\left[x_{k-1},x_k\right]$ 上用矩形公式. 如果 $h$ 足够小,那么这个求积误差对于解没有显著的影响.

$◼$ 问题是用矩形公式(11.66f)解积分方程 $\phi \left(x\right)=2+{\int }_0^x\left(x-y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y$ . 插值节点是等距点 $x_k=k\cdot 0.1$ ,因而 $h=0.1$ .

$${\phi }_0=2$$$${\phi }_1=f\left(x_1\right)+hK\left(x_1,x_0\right){\phi }_0$$$$=2+0.1\cdot 0.1\cdot 2=2.02,$$$${\phi }_2=f\left(x_2\right)+h\left(K\left(x_2,x_0\right){\phi }_0+K\left(x_2,x_1\right){\phi }_1\right)$$$$=2+0.1\left(0.2\cdot 2+0.1\cdot 2.02\right)=2.0602,$$

等等.

$x$	精确值	矩形公式	梯形公式
0.2	2.0401	2.0602	2.0401
0.4	2.1621	2.2030	2.1620
0.6	2.3709	2.4342	2.3706
0.8	2.6749	2.7629	2.6743
1.0	3.0862	3.2025	3.0852

在上表中给出了精确解的值, 也分别给出了用矩形公式和梯形公式计算所得的近似值,所以可以比较这些方法的精度. 所用的步长为 $h=0.1$ .