2.6.3 误差曲线

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.58)}& y={\mathrm{e}}^{-{\left(ax\right)}^2}\end{array}$$

描述了误差曲线(高斯误差分布曲线)(图 2.28). 因为函数为偶函数,故曲线关于 $y$ 轴对称,且 $\left|a\right|$ 越大,它渐近趋近 $x$ 轴的速度越快,当 $x=0$ 时,函数取得极大值 1, 因此曲线的极值点 $A$ 为(0,1),在 $\left(\pm \frac{1}{a\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)$ 有拐点 $B,C$ ,拐点处切线的斜率 $\tan \phi =\mp a\sqrt{2/\mathrm{e}}$ .

误差曲线 (2.58) 在描述观测误差的正态分布性质时有着重要应用 (参见第 1069 页 16.2.4.1 和第 1107 页 16.4.1.2,3.):

$$\begin{array}{}\text{(2.59)}& y=\phi \left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right).\end{array}$$