11.2.1 具有退化核的积分方程

如果一个积分方程的核 $K\left(x,y\right)$ (kernel $K\left(x,y\right)$ of an integral equation) 是两个单变量函数积的有限和,即一个函数仅依赖于 $x$ ,而另一函数仅依赖于 $y$ ,那么它被称为一个退化核(degenerate kernel), 或积核(product kernel).

1. 退化核情形的解

一个具有退化核的第二类弗雷德霍姆积分方程的解导致一个有限维方程组的解. 考虑积分方程

$$\begin{array}{}\text{(11.4a)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(11.4b)}& K\left(x,y\right)={\alpha }_1\left(x\right){\beta }_1\left(y\right)+{\alpha }_2\left(x\right){\beta }_2\left(y\right)+\cdots +{\alpha }_n\left(x\right){\beta }_n\left(y\right).\end{array}$$

诸函数 ${\alpha }_1\left(x\right),\cdots ,{\alpha }_n\left(x\right)$ 和 ${\beta }_1\left(x\right),\cdots ,{\beta }_n\left(x\right)$ 在区间 $\left[a,b\right]$ 上被给出,并被假设是连续的. 其次,假设函数 ${\alpha }_1\left(x\right),\cdots ,{\alpha }_n\left(x\right)$ 是线性无关的,即,具有常系数 $c_k$ 的等式

$$\begin{array}{}\text{(11.5)}& \sum _{k=1}^n{c}_k{\alpha }_k\left(x\right)\equiv 0\end{array}$$

对每个 $x\in \left[a,b\right]$ 成立,仅当 $c_1=c_2=\cdots =c_n=0$ 时. 否则, $K\left(x,y\right)$ 可以被表示成较小数目乘积的和.

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①原文将下式中的 $f\left(\xi ,y\left(\xi \right)\right)$ 误为 $f\left(\xi ,\eta \left(\xi \right)\right)$ . - 译者注

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由 (11.4a) 和 (11.4b) 即得

$$\begin{array}{}\text{(11.6a)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\alpha }_1\left(x\right){\int }_a^b{\beta }_1\left(y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y+\cdots +\lambda {\alpha }_n\left(x\right){\int }_a^b{\beta }_n\left(y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

式中的这些积分不再是变量 $x$ 的函数,它们是常数. 用 $A_k$ 表示它们:

$$\begin{array}{}\text{(11.6b)}& A_k={\int }_a^b{\beta }_k\left(y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,k=1,\cdots ,n.\end{array}$$

解函数 $\phi \left(x\right)$ ,如果存在,是扰动函数 $f\left(x\right)$ 和诸函数 ${\alpha }_1\left(x\right),\cdots ,{\alpha }_n\left(x\right)$ 的一个线性组合之和:

$$\begin{array}{}\text{(11.6c)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda A_1{\alpha }_1\left(x\right)+\lambda A_2{\alpha }_2\left(x\right)+\cdots +\lambda A_n{\alpha }_n\left(x\right).\end{array}$$

2. 解的系数的计算

如下计算诸系数 $A_1,\cdots ,A_n$ . 用 ${\beta }_k\left(x\right)$ 乘以方程 (11.6c),并在区间 $\left[a,b\right]$ 上关于 $x$ 计算其积分:

$${\int }_a^b{\beta }_k\left(x\right)\phi \left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_a^b{\beta }_k\left(x\right)f\left(x\right)\mathrm{d}x+\lambda A_1{\int }_a^b{\beta }_k\left(x\right){\alpha }_1\left(x\right)\mathrm{d}x+\cdots$$$$\begin{array}{}\text{(11.7a)}& +\lambda A_n{\int }_a^b{\beta }_k\left(x\right){\alpha }_n\left(x\right)\mathrm{d}x.\end{array}$$

根据 (11.6b),这个方程的左端等于 $A_k$ . 利用下述记号

$$\begin{array}{}\text{(11.7b)}& b_k={\int }_a^b{\beta }_k\left(x\right)f\left(x\right)\mathrm{d}x,c_{kj}={\int }_a^b{\beta }_k\left(x\right){\alpha }_j\left(x\right)\mathrm{d}x,\end{array}$$

则对于 $k=1,\cdots ,n$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(11.7c)}& A_k=b_k+\lambda c_{k1}{A}_1+\lambda c_{k2}{A}_2+\cdots +\lambda c_{kn}{A}_n.\end{array}$$

有可能不能计算 (11.7b) 中那些积分的精确值. 一旦出现这种情形, 必须用给出在第 1252 页 19.3 中的那些公式之一来计算它们的近似值. 线性方程组 (11.7c) 对于未知值 $A_1,\cdots ,A_n$ 包含 $n$ 个方程:

$$\left(1-\lambda c_{11}\right)A_1-\lambda c_{12}{A}_2-\cdots -\lambda c_{1n}{A}_n=b_1,$$$$\begin{array}{}\text{(11.7d)}& -\lambda c_{21}{A}_1+\left(1-\lambda c_{22}\right)A_2-\cdots -\lambda c_{2n}{A}_n=b_2,\end{array}$$$$-\lambda c_{n1}{A}_1-\lambda c_{n2}{A}_2-\cdots +\left(1-\lambda c_{nn}\right)A_n=b_n.$$

3. 解、本征值、本征函数的分析

从线性方程组的理论知道,(11.7d) 有且仅有一个解 $A_1,\cdots ,A_n$ ,如果系数矩阵行列式不等于零, 即

$$\begin{array}{}\text{(11.8)}& D\left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{rrrr}\left(1-\lambda c_{11}\right)& -\lambda c_{12}& \cdots & -\lambda c_{1n}\\ -\lambda c_{21}& \left(1-\lambda c_{22}\right)& \cdots & -\lambda c_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -\lambda c_{n1}& -\lambda c_{n2}& \cdots & \left(1-\lambda c_{nn}\right)\end{array}\right|\ne 0.\end{array}$$

显然, $D\left(\lambda \right)$ 不恒为零,因为有 $D\left(0\right)=1$ . 因而,存在一个数 $R>0$ ,使得当 $\left|\lambda \right|<R$ 时 $D\left(\lambda \right)\ne 0$ . 为了进一步的研究,考虑两种不同的情形.

情形 $D\left(\lambda \right)\ne 0$

积分方程恰好有形如(11.6c)的一个解,并且诸系数 $A_1,\cdots ,A_n$ 由方程组 (11.7d) 的解给出. 如果 (11.4a) 是一个齐次积分方程,即 $f\left(x\right)\equiv 0$ ,则 $b_1=b_2=$ $\cdots =b_n=0$ . 此时齐次方程组 (11.7d) 只有平凡解 $A_1=A_2=\cdots =A_n=0$ . 在这个情形只有函数 $\phi \left(x\right)\equiv 0$ 满足积分方程.

情形 $D\left(\lambda \right)=0$

$D\left(\lambda \right)$ 是一个不高于 $n$ 次的多项式,因而它至多有 $n$ 个根. 对于 $\lambda$ 的这些值, $b_1=b_2=\cdots =b_n=0$ 时的齐次方程组 (11.7d) 还有非平凡解,因而除了平凡解 $\phi \left(x\right)\equiv 0$ 外,齐次方程组有别的形如

$$\phi \left(x\right)=C\cdot \left(A_1{\alpha }_1\left(x\right)+A_2{\alpha }_2\left(x\right)+\cdots +A_n{\alpha }_n\left(x\right)\right)\left(C\text{ 是一个任意常数 }\right)$$

的解. 由于 ${\alpha }_1\left(x\right),\cdots ,{\alpha }_n\left(x\right)$ 是线性无关的,因此 $\phi \left(x\right)$ 不恒等于零. $\mathrm{D}\left(\lambda \right)$ 的根被称为积分方程的本征值(eigenvalues). 齐次积分方程相应的非零解被称为属于本征值 $\lambda$ 的本征函数 (eigenfunctions). 几个线性无关的本征函数可以属于同一个本征值. 如果积分方程有一个一般的核, 那么就要考虑齐次积分方程有非平凡解的所有那些本征值 $\lambda$ . 有些作者把满足 $D\left(\lambda \right)=0$ 的 $\lambda$ 称为特征数,把 $\mu =\frac{1}{\lambda }$ 称为相应于形如 $\mu \phi \left(x\right)={\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y$ 方程的本征值.

4. 转置积分方程

现在有必要来研究在什么条件下,如果 $D\left(\lambda \right)=0$ ,齐次积分方程有解? 为此目的, 引进 (11.4a) 的转置积分方程 (transposed integral equation)(或者, 在复情形, 伴随积分方程(adjoint integral equation)):

$$\begin{array}{}\text{(11.9a)}& \psi \left(x\right)=g\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(y,x\right)\psi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

令 $\lambda$ 是一个本征值, $\phi \left(x\right)$ 是齐次积分方程 (11.4a) 的一个解. 容易证明 $\lambda$ 也是伴随积分方程的一个本征值. 现在 (11.4a) 的两端乘以齐次伴随积分方程的任一解 $\psi \left(x\right)$ , 并在区间 $\left[a,b\right]$ 上关于 $x$ 求积分:

$$\begin{array}{}\text{(11.9b)}& {\int }_a^b\phi \left(x\right)\psi \left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f\left(x\right)\psi \left(x\right)\mathrm{d}x+{\int }_a^b\left(\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\psi \left(x\right)\mathrm{d}x\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

假设 $\psi \left(y\right)=\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\psi \left(x\right)\mathrm{d}x$ ,则有 ${\int }_a^{b}f\left(x\right)\psi \left(x\right)\mathrm{d}x=0$ .

这就是: 对于某个本征值 $\lambda$ 齐次积分方程 (11.4a) 有解,当且仅当扰动函数 $f\left(x\right)$ 与齐次伴随积分方程的属于同一个 $\lambda$ 的每个非零解正交(orthogonal). 这个陈述不仅对于具有退化核的积分方程成立, 而且对于具有一般核的积分方程也成立.

$◼\mathbf{A}$: $\phi \left(x\right)=x+{\int }_{-1}^{+1}\left(x^{2}y+x{y}^2-xy\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,{\alpha }_1\left(x\right)=x^2,{\alpha }_2\left(x\right)=x,{\alpha }_3\left(x\right)=$ $-x,{\beta }_1\left(y\right)=y,{\beta }_2\left(y\right)=y^2,{\beta }_3\left(y\right)=y.3$ 个函数 ${\alpha }_k\left(x\right)$ 是线性相关的. 因而把原积分方程写为 $\phi \left(x\right)=x+{\int }_{-1}^{+1}\left[x^{2}y+x\left(y^2-y\right)\right]\phi \left(y\right)\mathrm{d}y$ . 对于这个积分方程,有 ${\alpha }_1\left(x\right)=x^2,{\alpha }_2\left(x\right)=x,{\beta }_1\left(y\right)=y,{\beta }_2\left(y\right)=y^2-y$ . 如果有解 $\phi \left(x\right)$ 存在,则它有形式 $\phi \left(x\right)=x+A_1{x}^2+A_{2}x$ .

$$c_{11}={\int }_{-1}^{+1}{x}^3\mathrm{d}x=0,c_{12}={\int }_{-1}^{+1}{x}^2\mathrm{d}x=\frac{2}{3},$$$$c_{21}={\int }_{-1}^{+1}\left(x^4-x^3\right)\mathrm{d}x=\frac{2}{5},c_{22}={\int }_{-1}^{+1}\left(x^3-x^2\right)\mathrm{d}x=-\frac{2}{3},$$$$b_1={\int }_{-1}^{+1}{x}^2\mathrm{d}x=\frac{2}{3}$$$$b_2={\int }_{-1}^{+1}\left(x^3-x^2\right)\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}.$$

利用这些值来确定 $A_1$ 和 $A_2$ 的方程组,则有: $A_1-\frac{2}{3}{A}_2=\frac{2}{3},-\frac{2}{5}{A}_1+(1+$ $\frac{2}{3})A_2=-\frac{2}{3}$ ,由它即得 $A_1=\frac{10}{21},A_2=-\frac{2}{7}$ ,因而 $\phi \left(x\right)=x+\frac{10}{21}{x}^2-\frac{2}{7}x=$$\frac{10}{21}{x}^2+\frac{5}{7}x$

$◼\mathbf{B}$: $\phi \left(x\right)=x+\lambda {\int }_0^{\pi }\sin \left(x+y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y$ ,即 $K\left(x,y\right)=\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+$$\cos x\sin y,\phi \left(x\right)=x+\lambda \sin x{\int }_0^{\pi }\cos y\phi \left(y\right)\mathrm{d}y+\lambda \cos x{\int }_0^{\pi }\sin y\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.$

$c_{11}={\int }_0^{\pi }\sin x\cos x\mathrm{d}x=0,c_{12}={\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2},b_1={\int }_0^{\pi }x\cos x\mathrm{d}x=-2,$

$c_{21}={\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2},c_{22}={\int }_0^{\pi }\cos x\sin x\mathrm{d}x=0,b_2={\int }_0^{\pi }x\sin x\mathrm{d}x=\pi .$

利用这些值,方程组 (11.7d) 即为 $A_1-\lambda \frac{\pi }{2}{A}_2=-2,-\lambda \frac{\pi }{2}{A}_1+A_2=\pi$ . 因为对满足 $D\left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{cc}1& -\lambda \frac{\pi }{2}\\ -\lambda \frac{\pi }{2}& 1\end{array}\right|=1-{\lambda }^2\frac{{\pi }^2}{4}\ne 0$ 的任意 $\lambda ,A_1$ 和 $A_2$ 的方程组有唯一解. 因而 $A_1=\left(\lambda \frac{{\pi }^2}{2}-2\right)/\left(1-{\lambda }^2\frac{{\pi }^2}{4}\right),A_2=\pi \left(1-\lambda \right)/\left(1-{\lambda }^2\frac{{\pi }^2}{4}\right)$ ,所以此时积分方程的解为 $\phi \left(x\right)=x+\lambda \left[\left(\lambda \frac{{\pi }^2}{2}-2\right)\sin x+\pi \left(1-\lambda \right)\cos x\right]/\left(1-{\lambda }^2\frac{{\pi }^2}{4}\right)$ . 积分方程的本征值为 ${\lambda }_1=\frac{2}{\pi },{\lambda }_2=-\frac{2}{\pi }$ .

齐次积分方程 $\phi \left(x\right)={\lambda }_k{\int }_0^{\pi }\sin \left(x+y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y$ 有形如 ${\phi }_k\left(x\right)={\lambda }_k(A_1\sin x+$ $A_2\cos x)\left(k=1,2\right)$ 的非零解. 对于 ${\lambda }_1=\frac{2}{\pi }$ ,有 $A_1=A_2$ ,因而即得 ${\phi }_1\left(x\right)=$ $A\left(\sin x+\cos x\right)$ ,其中 $A$ 为任意常数. 类似地,对于 ${\lambda }_2=-\frac{2}{\pi }$ ,有 ${\phi }_2\left(x\right)=B(\sin x-$ $\cos x)$ ,其中 $B$ 为任意常数.

注 这个先前的解法相当简单, 但它只在退化核的情形有效. 这个方法也可用于在一般核的情形中获得一个好的近似解, 如果可以用退化核足够好地逼近一般核.