5.3.8 向量空间 ${}^{\text{①}}$

5.3.8.1 定义

域 $K$ 上的向量空间由 “向量” 的阿贝尔群 $V=\left(V,+\right)$ (记成加法形式),“标量” 域 $K=\left(K,+,\ast \right)$ ,以及外乘法 $K\times V\to V$ 组成,后者对每个有序对(k, v)(其中 $k\in K,v\in V)$ 确定一个向量 $kv\in V$ . 这些运算有下列性质:

(V1) 对所有 $u,v,w\in V,\left(u+v\right)+w=u+\left(v+w\right)$ .(5.182)

(V2) 存在向量 $0\in V$ 使得对每个 $v\in V,v+0=v$ .(5.183)

(V3) 对每个向量 $v\in V$ 存在向量 $-v$ 使得 $v+\left(-v\right)=0$ .(5.184)

(V4) 对每个向量 $v,w\in V,v+w=w+v$ .(5.185)

(V5) 对每个向量 $v\in V,1v=v,1$ 表示 $F$ 的单位元.(5.186)

(V6) 对每个 $r,s\in F$ 及每个 $v\in V,r\left(sv\right)=\left(rs\right)v$ .(5.187)

(V7) 对每个 $r,s\in F$ 及每个 $v\in V,\left(r+s\right)v=rv+sv$ .(5.188)

(V8) 对每个 $r\in F$ 及每个 $v,w\in V,r\left(v+w\right)=rv+rw$ .(5.189)

如果 $F=\mathbb{R}$ ,那么称它为实向量空间.

向量空间的例子

$◼\mathbf{A}$: (n,1)和(1, n)型的单行和单列实矩阵对于加法和与实数的外乘法分别形成实向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ (行向量空间和列向量空间; 还可见第 364 页 4.1.3).

$◼\mathbf{B}$: 所有(m, n)型实矩阵形成实向量空间.

$◼\mathbf{C}$: 所有区间 $\left[a,b\right]$ 上的连续实函数对于运算

$$\begin{array}{}\text{(5.190)}& \left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{ 及 }\left(kf\right)\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)\end{array}$$

形成实向量空间.

函数空间在泛函分析中起着基本作用 (参见第 12 章).

---

① 原注:本节向量一般不用黑体

---

5.3.8.2 线性相关性

设 $V$ 是 $F$ 上的向量空间. 向量 $v_1,v_2,\cdots ,v_m\in V$ 称作线性相关的,如果存在不全等于零的 $k_1,k_2,\cdots ,k_m\in K$ 使得 $0=k_1{v}_1+k_2{v}_2+\cdots +k_m{v}_m$ 成立. 不然它们是线性无关的. 至少两个向量的线性相关性意味着其中一个是另一个的倍数.

如果向量空间 $V$ 中存在的线性无关的向量的极大个数是 $n$ ,那么向量空间 $V$ 称作是 $n$ 维的. 数 $n$ 是唯一确定的,并称作维数. $V$ 的每 $n$ 个线性无关的向量形成一组基. 如果这样的极大数不存在, 那么向量空间称作无限维的. 上面例子中的向量空间分别是 $n$ 维, $m\cdot n$ 维及无限维的.

在向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中, $n$ 个向量线性无关,当且仅当以这些向量作为行或列的矩阵的行列式不等于零.

如果 $\left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}$ 形成 $F$ 上 $n$ 维向量空间的基,那么每个向量 $v\in V$ 有唯一的表示式 $v=k_1{v}_1+k_2{v}_2+\cdots +k_n{v}_n$ ,其中 $k_1,k_2,\cdots ,k_n\in F$ .

每个线性无关的向量的集合可以补充成向量空间的一组基.

5.3.8.3 线性算子

1. 线性算子的定义

设 $V$ 和 $W$ 是两个实线性空间. 一个从 $V$ 到 $W$ 的映射 $f:V\to W$ 称为从 $V$ 到 $W$ 的线性映射或线性变换或线性算子(还可参见第 861 页 12.1.5.2),如果

$$\begin{array}{}\text{(5.191)}& f\left(u+v\right)=f\left(u\right)+f\left(v\right),\text{ 对所有 }u,v\in V,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.192)}& f\left(\lambda u\right)=\lambda f\left(u\right),\text{ 对所有实数 }\lambda \text{. }\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: 映射 $fu\text{:=}{\int }_{\alpha }^{\beta }u\left(t\right)\mathrm{d}t$ ,将连续实函数的空间 $\mathcal{C}\left[\alpha ,\beta \right]$ 变换到实数空间,是线性的.

在特殊情形 $W={\mathbb{R}}^1$ ,线性变换称为线性泛函.

$◼\mathbf{B}$ : 设 $V={\mathbb{R}}^n$ ,并设 $W$ 是所有次数至多为 $n-1$ 的实多项式的空间. 那么映射 $f\left(a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}\right)\text{:=}{a}_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}$ 是线性的. 在此情形,每个 $n$ 元素向量对应于一个次数 $\le n-1$ 的多项式.

$◼\mathbf{C}$ : 如果 $V={\mathbb{R}}^n$ 及 $W={\mathbb{R}}^m$ ,那么所有从 $V$ 到 $W$ 的线性算子 $f(f:{\mathbb{R}}^n\to$ ${\mathbb{R}}^m)$ 可以用(m, n)型实矩阵 $\mathbf{A}=\left(a_{ik}\right)$ 刻画. 关系式 $\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}=\underset{―}{\mathbf{y}}$ 对应于线性方程组 (4.174a)

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right).$$

2. 两个线性算子的和与积

设 $f:V\to W,g:V\to W$ 以及 $h:W\to U$ 是线性算子. 那么和 $f+g:$ $V\to W$ 定义为对所有 $u\in V$ ,

$$\begin{array}{}\text{(5.193)}& \left(f+g\right)u=fu+gu,\end{array}$$

以及积 $hf:V\to U$ 定义为对所有 $u\in V$ ,

$$\begin{array}{}\text{(5.194)}& \left(hf\right)u=h\left(fu\right).\end{array}$$

注 (1) 如果 $f,g$ 和 $h$ 是线性的,那么 $f+g$ 和 $fh$ 也是线性的.

(2)两个线性算子之积 (5.194) 表示相继应用这些算子 $f$ 和 $h$ .

(3) 两个线性算子之积通常是非交换的, 甚至当这些积存在也有

$$\begin{array}{}\text{(5.195a)}& hf\ne fh\text{.}\end{array}$$

如果

$$\begin{array}{}\text{(5.195b)}& hf-fh=0\end{array}$$

成立,那么存在可换性. 在量子力学中,这个方程的左边 $hf-fh$ 称作交换子. 在情形 (5.195a) 算子 $f$ 和 $h$ 不交换,因而要非常小心次序.

作为线性算子的和和积的例子我们可以考虑对应的实矩阵的和和积.

5.3.8.4 子空间、维数公式

(1) 子空间 设 $V$ 是向量空间, $U$ 是 $V$ 的子集. 如果 $U$ 对于 $V$ 的运算也是向量空间,那么 $U$ 称为 $V$ 的子空间.

$V$ 的非空子集 $U$ 是子空间,当且仅当对每个 $u_1,u_2\in U$ 及每个 $k\in F,u_1+u_2$ 和 $k\cdot u_1$ 也在 $U$ 中 (子空间判别法).

(2) 核、象 设 $V_1,V_2$ 是 $F$ 上的向量空间. 如果 $f:V_1\to V_2$ 是线性映射,那么线性子空间核(记号: $\ker f$ ) 以及象(记号: $\mathrm{im}f$ ) 定义为

$$\begin{array}{}\text{(5.196)}& \ker f=\{v\in V\mid f\left(v\right)=0\},\mathrm{im}f=\{f\left(v\right)\mid v\in V\}.\end{array}$$

因此,例如,齐次线性方程组 $\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}=\underset{―}{\mathbf{0}}$ 的解集是由系数矩阵 $\mathbf{A}$ 定义的线性映射的核.

(3) 维数 维数 $\dim \ker f$ 和 $\dim \mathrm{im}f$ 分别称为 $f$ 的亏量 $\left(\mathrm{defect}f\right)$ 和秩 $\left(\mathrm{rank}f\right)$ . 对于这些维数等式

$$\begin{array}{}\text{(5.197)}& \text{defect}f+\mathrm{rank}f=\dim V\end{array}$$

成立,并称作维数公式. 特别,如果 defect $f=0$ ,即 $\ker f=\{0\}$ ,那么线性映射 $f$ 是单射, 并且反过来也成立. 线性单射称作正则的.

5.3.8.5 欧几里得向量空间、欧几里得范数

为了能够在抽象向量空间中应用如长度、角度、正交性这样的概念, 我们引进欧几里得向量空间.

1. 欧几里得向量空间

设 $V$ 是实向量空间. 如果 $\phi :V\times V\to \mathbb{R}$ 是具有下列性质的影射 (代替 $\phi \left(v,w\right)$ 写作 $v\cdot w)$ : 对于每个 $u,v,w\in V$ 及每个 $r\in \mathbb{R}$ ,

(S1) $v\cdot w=w\cdot v$(5.198)

(S2) $\left(u+v\right)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w$(5.199)

(S3) $r\cdot \left(v\cdot w\right)=\left(rv\right)\cdot w=v\cdot \left(rw\right)$ ;(5.200)

(S4) $v\cdot v>0$ ,当且仅当 $v\ne 0$ ,(5.201)

那么 $\phi$ 称为 $V$ 上的标量积. 如果存在 $V$ 上定义的标量积,那么 $V$ 称为欧几里得向量空间.

这些性质也用来在更一般的空间上定义具有类似性质的标量积 (参见第 879 页 12.4.1.1).

2. 欧几里得范数

值

$$\begin{array}{}\text{(5.202)}& \parallel v\parallel =\sqrt{v\cdot v}\end{array}$$

表示 $v$ 的欧几里得范数(长度). $V$ 中 $v,w$ 间的夹角 $\alpha$ 由公式

$$\begin{array}{}\text{(5.203)}& \cos \alpha =\frac{v\cdot w}{\parallel v\parallel \cdot \parallel w\parallel }\end{array}$$

定义. 如果 $v\cdot w=0$ ,那么称 $v$ 和 $w$ 互相正交.

三角函数的正交性 在傅里叶级数论 (参见第 634 页 7.4.1.1) 中,存在 $\sin kx$ 和 $\cos kx$ 形式的函数. 这些函数可以看作函数空间 $C\left[0,2\pi \right]$ 的元素. 在函数空间 $C\left[a,b\right]$ 中公式

$$\begin{array}{}\text{(5.204)}& f\cdot g={\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

定义一个标量积. 因为

$$\begin{array}{}\text{(5.205)}& {\int }_0^{2\pi }\sin kx\cdot \sin lx\mathrm{d}x=0\left(k\ne l\right)\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.206)}& {\int }_0^{2\pi }\cos kx\cdot \cos lx\mathrm{d}x=0\left(k\ne l\right)\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.207)}& {\int }_0^{2\pi }\sin kx\cdot \cos lx\mathrm{d}x=0,\end{array}$$

函数 $\sin kx\in C\left[0,2\pi \right]$ 和 $\cos lx\in C\left[0,2\pi \right]$ 对每个 $k,l\in \mathbb{N}$ 是两两互相正交的. 这个三角函数的正交性在调和分析 (参见第 634 页 7.4.1.1) 中用来计算傅里叶系数.

5.3.8.6 双线性映射、双线性型

双线性映射可以看作向量间不同的积的一般化. 在这种情形双线性型用于相应的积对于向量加法的分配性.

1. 定义

设 $U,V,W$ 是同一个域 $K$ 上的向量空间. 映射 $f:U\times V\to W$ 称为双线性的, 如果

对于每个 $u\in U$ ,映射 $v\mapsto f\left(u,v\right)$ 是 $V$ 到 $W$ 的线性映射,并且(5.208)对于每个 $v\in V$ ,映射 $u\mapsto f\left(u,v\right)$ 是 $U$ 到 $W$ 的线性映射,

这意味着映射 $f:U\times V\to W$ 是双线性的,如果对于每个 $k\in K,u,u^{\prime }\in U$ 和 $v,v^{\prime }\in V$ 有

$$\begin{array}{}\text{(5.209)}& f\left(u+u^{\prime },v\right)=f\left(u,v\right)+f\left(u^{\prime },v\right),f\left(ku,v\right)=kf\left(u,v\right),\end{array}$$$$f\left(u,v+v^{\prime }\right)=f\left(u,v\right)+f\left(u^{\prime },v\right),f\left(u,kv\right)=kf\left(u,v\right).$$

如果用点积,或向量积,或域中的乘法代替 $f$ ,那么这些关系刻画了这个乘法对于向量加法的左侧和右侧分配性.

特别,如果 $U=V$ ,并且 $W=K$ (基域),那么 $f$ 称为双线性型. 本书只考虑实 $\left(K=\mathbb{R}\right)$ 和复 $\left(K=\mathbb{C}\right)$ 的情形.

双线性型的例子

$◼\mathbf{A}$: $U=V={\mathbb{R}}^n,W=\mathbb{R},f$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的点积: $f\left(u,v\right)=u^{\mathrm{T}}v=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i$ ,其中 $u_i$ 和 $v_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 是 $u$ 和 $v$ 的笛卡儿坐标.

$◼\mathbf{B}$: $U=V=W={\mathbb{R}}^3,f$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的叉积:

$$f\left(u,v\right)=u\times v={(u_2{v}_3-u_3{v}_2,v_1{u}_3-u_1{v}_3,u_1{v}_2-v_1{u}_2)}^{\mathrm{T}}.$$

2. 特殊的双线性型

双线性型 $f:V\times V\to \mathbb{R}$ 称作

• 对称的,如果对每个 $v,v^{\prime }\in V,f\left(v,v^{\prime }\right)=f\left(v^{\prime },v\right)$ .

• 斜对称的,如果对每个 $v,v^{\prime }\in V,f\left(v,v^{\prime }\right)=-f\left(v^{\prime },v\right)$ .

• 正定的,如果对每个 $v,\in V,v\ne 0,f\left(v,v\right)>0$ .

于是 $V$ 中欧几里得点积 (参见第 492 页 5.3.8.5) 可以刻画为对称正定的双线性型. ${\mathbb{R}}^n$ 中标准欧几里得点积定义为 $f\left(u,v\right)=u^{\mathrm{T}}v$ .

在有限维空间 $V$ 中双线性型可以用矩阵表示: 如果 $f\text{:=}V\times V\to \mathbb{R}$ 是一个双线性型,并且 $B=\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)$ 是 $V$ 的基,那么矩阵

$$\begin{array}{}\text{(5.210)}& {\mathbf{A}}_B\left(f\right)=\left(f{(b_i,b_j)}_{i,j}\right)\end{array}$$

是 $f$ 对于基 $B$ 的表示矩阵. 于是双线性型可以写成矩阵乘积的形式:

$$\begin{array}{}\text{(5.211)}& f\left(v,v^{\prime }\right)=v^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_B\left(f\right)v^{\prime },\end{array}$$

其中 $v$ 和 $v^{\prime }$ 对于基 $B$ 给出.

如果双线性型是对称的,那么表示矩阵是对称的. 在复向量空间中 (因为 $z^2$ 可以是负数), 对称的以及正定的双线性型没有太大的意义. 在 [5.6] 中用所谓半双线性型的概念来代替双线性型, 以此定义酉点积以及距离和角.

3. 半双线性型

映射 $f:V\times V\to \mathbb{C}$ 称为半双线性型,如果对于每个 $v,v^{\prime }\in V$ 和每个 $k\in \mathbb{C}$ ,

$$\begin{array}{}\text{(5.212)}& f\left(u+u^{\prime },v\right)=f\left(u,v\right)+f\left(u^{\prime },v\right),f\left(ku,v\right)=kf\left(u,v\right),\end{array}$$$$f\left(u,v+v^{\prime }\right)=f\left(u,v\right)+f\left(u,v^{\prime }\right),f\left(u,kv\right)=k^{\ast }f\left(u,v\right),$$

其中 $k^{\ast }$ 表示 $k$ 的复数共轭. 函数对于第一个自变量是线性的,而对于第二个自变量是 “半线性的”. 类似于实的情形, “对称性” 是用下列方式定义的:

半双线性型 $f:V\times V\to \mathbb{C}$ 称为埃尔米特的,如果对于每个 $v,v^{\prime }\in V,f\left(v,v^{\prime }\right)=$ $f{(v^{\prime },v)}^{\ast }$ .

于是 (酉) 点积可以通过埃尔米特正定半双线性型来刻画. ${\mathbb{C}}^n$ 中标准酉点积定义为 $f\left(u,v\right)=u^{\mathrm{T}}{v}^{\ast }$ .

如果 $V$ 是有限维的,那么半双线性型可以用矩阵表示 (与实的情形类似):

如果 $f:V\times V\to \mathbb{C}$ 是半双线性型,并且 $B=\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)$ 是 $V$ 的一组基,那么矩阵 ${\mathbf{A}}_B\left(f\right)={\left(f(b_i,b_j)\right)}_{i,j}$ 是 $f$ 对于基 $B$ 的表示矩阵. 半双线性型可以写成矩阵乘积的形式:

$$\begin{array}{}\text{(5.213)}& f\left(v,v^{\prime }\right)=v^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_B\left(f\right)v^{\prime },\end{array}$$

其中 $v$ 和 $v^{\prime }$ 对于基 $B$ 给出. 表示矩阵是埃尔米特的,当且仅当半双线性型是埃尔米特的.