1.6.3 $n$ 次方程

1.6.3.1 代数方程的一般性质

1. 根

方程

$$\begin{array}{}\text{(1.165a)}& x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0\end{array}$$

的左边是 $n$ 次多项式 $P_n\left(x\right),\left(1.165\mathrm{a}\right)$ 式的解是多项式 $P_n\left(x\right)$ 的根. 若 $\alpha$ 是多项式的根,则 $P_n\left(x\right)$ 可被 $\left(x-\alpha \right)$ 整除. 一般情形下

$$\begin{array}{}\text{(1.165b)}& P_n\left(x\right)=\left(x-\alpha \right)P_{n-1}\left(x\right)+P_n\left(\alpha \right),\end{array}$$

其中 $P_{n-1}\left(x\right)$ 是 $n-1$ 次多项式. 若 $P_n\left(x\right)$ 可被 ${(x-\alpha )}^k$ 整除,但不能被 ${(x-\alpha )}^{k+1}$ 整除,则称 $\alpha$ 为方程 $P_n\left(x\right)=0$ 的 $k$ 重根. 此时, $\alpha$ 是多项式 $P_n\left(x\right)$ 及其导数的 $k-1$ 重公共根.

2. 代数基本定理

实系数或复系数的任一 $n$ 次方程,有 $n$ 个实根或复根,其中,重根按重数计算. 记 $P\left(x\right)$ 的根为 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots$ ,其重数分别为 $k,l,m,\cdots$ ,则多项式的乘积形式为

$$\begin{array}{}\text{(1.166a)}& P\left(x\right)={(x-\alpha )}^k{(x-\beta )}^l{(x-\gamma )}^m\cdots .\end{array}$$

把方程简化为与原方程有相同根、但只有单根的另一个方程 (若可行), 可简化方程 $P\left(x\right)=0$ 的求解. 为此,把多项式分解成两个因式的乘积

$$\begin{array}{}\text{(1.166b)}& P\left(x\right)=Q\left(x\right)T\left(x\right),\end{array}$$

使得

$$\begin{array}{}\text{(1.166c)}& T\left(x\right)={(x-\alpha )}^{k-1}{(x-\beta )}^{l-1}\cdots ,Q\left(x\right)=\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)\cdots .\end{array}$$

由于多项式 $P\left(x\right)$ 较高重数的根也是其导数 $P^{\prime }\left(x\right)$ 的根, $T\left(x\right)$ 是多项式 $P\left(x\right)$ 及其导数 $P^{\prime }\left(x\right)$ 的最大公因式 (参见第 17 页 1.1.6.5). $P\left(x\right)$ 除以 $T\left(x\right)$ 得到多项式 $Q\left(x\right),Q\left(x\right)$ 有 $P\left(x\right)$ 的全部根,且每个根的重数为 1 .

3. 根的韦达定理

方程 (1.165a) 的 $n$ 个根 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 和系数之间的关系是

$$x_1+x_2+\cdots +x_n=\sum _{i=1}^n{x}_i=-a_{n-1},$$$$x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\sum _{\begin{array}{c}i,j=1\\ i<j\end{array}}^n{x}_i{x}_j=a_{n-2},$$$$\begin{array}{}\text{(1.167)}& x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+\cdots +x_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n=\sum _{\begin{array}{c}i,j,k=1\\ i<j<k\end{array}}^n{x}_i{x}_j{x}_k=-a_{n-3},\end{array}$$$$x_1{x}_2\cdots x_n={(-1)}^n{a}_0.$$

1.6.3.2 实系数方程

1. 复根

实系数多项式也可能有复根,但只限于成对的共轭复根,即若 $\alpha =a+\mathrm{i}b$ 是一个根,则 $\beta =a-\mathrm{i}b$ 也是一个根,且二者重数相同. $p=-\left(\alpha +\beta \right)=-2a$ 和 $q=\alpha \beta =a^2+b^2$ 满足不等式 ${\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q<0$ ,且

$$\begin{array}{}\text{(1.168)}& \left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)=x^2+px+q.\end{array}$$

用 (1.168) 式对应的乘积替换 (1.166a) 式中的每一对因子, 可得到实系数多项式的实因子分解式:

$$P\left(x\right)={(x-{\alpha }_1)}^{k_1}{(x-{\alpha }_2)}^{k_2}\cdots {(x-{\alpha }_l)}^{k_l}$$$$\begin{array}{}\text{(1.169)}& \cdot {(x^2+p_{1}x+q_1)}^{m_1}{(x^2+p_{2}x+q_2)}^{m_2}\cdots {(x^2+p_{r}x+q_r)}^{m_r},\end{array}$$

其中, ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_l$ 是多项式 $P\left(x\right)$ 的 $l$ 个实根. $P\left(x\right)$ 也有 $r$ 对共轭复根,它们是二次因式 $x^2+p_{i}x+q_i\left(i=1,2,\cdots ,r\right)$ 的根. ${\alpha }_j\left(j=1,2,\cdots ,l\right),p_i$ 和 $q_i(i=$ $1,2,\cdots ,r)$ 是实数,且不等式 ${\left(\frac{p_i}{2}\right)}^2-q_i<0$ 成立.

2. 实系数方程根的个数

根据 (1.168) 式, 任何奇次方程至少有一个实根. (1.165a) 式位于两个任意实数 $a<b$ 之间的更多实根的个数,可按下述方式确定:

a) 分离重根 去掉 $P\left(x\right)=0$ 的重根,可生成一个包含原方程的所有根,但重数只能为 1 的方程, 然后必须生成基本定理中涉及的形式.

由于实际原因, 从求斯图姆链(斯图姆函数 ——(1.170) 式) 开始是一个好方法. 这与欧几里得算法中求最大公因式几乎完全相同,但它给出了更多信息. 若 $P_m$ 不是常数,则 $P\left(x\right)$ 有必须被分离的重根. 因此,下面可假定 $P\left(x\right)=0$ 没有重根.

b) 创建斯图姆函数列

$$\begin{array}{}\text{(1.170)}& P\left(x\right),P^{\prime }\left(x\right),P_1\left(x\right),P_2\left(x\right),\cdots ,P_m=\text{ 常数. }\end{array}$$

其中, $P\left(x\right)$ 是方程的左边, $P^{\prime }\left(x\right)$ 是 $P\left(x\right)$ 的一阶导数, $P_1\left(x\right)$ 是 $P\left(x\right)$ 除以 $P^{\prime }\left(x\right)$ 后的余项,但符号相反, $P_2\left(x\right)$ 是 $P^{\prime }\left(x\right)$ 除以 $P_1\left(x\right)$ 后的余项,也是符号相反,等等, $P_m=$ 常数是最后的非零余项,但必须为常数,否则 $P\left(x\right)$ 和 $P^{\prime }\left(x\right)$ 有公因子, $P\left(x\right)$ 有重根. 为简化计算, 余项可乘以正数, 结果不变.

c) 斯图姆定理 若 $A$ 是序列 (1.170) 中, $x=a$ 时符号的变化次数,即符号从 “+” 到 “-” 与从 “-” 到 “+” 的变化数, $B$ 是序列 (1.170) 中, $x=b$ 时符号的变化次数,则其差 $A-B$ 等于 $P\left(x\right)=0$ 在区间 $\left[a,b\right]$ 内的实根个数. 若序列中某些数等于 0 , 则不计入符号变化中.

$◼$ 求方程 $x^4-5x^2+8x-8=0$ 在区间 $\left[0,2\right]$ 内的实根个数. 计算斯图姆函数:

$$P\left(x\right)=x^4-5x^2+8x-8;P^{\prime }\left(x\right)=4x^3-10x+8;P_1\left(x\right)=5x^2-12x+16;$$$$P_2\left(x\right)=-3x+284;P_3=-1.$$

代入 $x=0$ ,可得序列 $-8,+8,+16,+284,-1$ ,符号有两次变化,代入 $x=2$ ,可得序列 $+4,+20,+12,+278,-1$ ,符号有一次变化,故 $A-B=2-1=1$ ,即 0 到 2 之间有一个实根.

d) 笛卡儿法则 方程 $P\left(x\right)=0$ 的正根个数不超过多项式 $P\left(x\right)$ 的系数列中符号的变化次数, 这两个数至多相差一个偶数.

$◼$ 关于方程 $x^4+2x^3-x^2+5x-1=0$ 的根,可得到哪些信息? 方程系数的符号为 $+,+,-,+,-$ ,即符号有三次变化. 根据笛卡儿法则,方程或者有三个根,或者有一个根. 由于用 $-x$ 替换 $x$ ,方程根的符号改变. 用 $x+h$ 替换 $x$ ,根增大 $h$ ,负根的个数,或大于 $h$ 的根,可借助笛卡儿法则估计. 在所给例子中,用 $-x$ 替换 $x$ ,得到 $x^4-2x^3-x^2-5x-1=0$ ,即方程最多有一个负根. 用 $x+1$ 替换 $x$ ,得到 $x^4+6x^3+11x^2+13x+6=0$ ,即方程的任一正根 (1 个或 3 个) 小于 1 .

3. $n$ 次方程的解

通常次数 $n>4$ 的方程只能近似求解. 实际上,近似法也可用于求 3 次或 4 次方程的解.

为求代数方程的某些实根, 对非线性方程, 可使用一般的数值程序 (参见第 1233 页 19.1). 为求所有根,包括 $n$ 次代数方程的复根,可使用布罗德斯基-斯米尔 (Brodetsky-Smeal) 方法 (参见 [1.7], [19.40]). 为求复根, 可使用贝尔斯托法 (参见[19.15]).