12.9.3 积分

12.9.3.1 积分的定义

设 $\left(X,\mathcal{A},\mu \right)$ 是一个测度空间. 对于可测函数 $f$ ,积分 ${\int }_{X}f\mathrm{d}\mu ($ 也记作 $\int f\mathrm{d}\mu )$ 由如下五个步骤定义:

(1) 如果 $f$ 是基本函数 $f=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{\chi }_k$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(12.211)}& \int f\mathrm{d}\mu =\sum _{k=1}^n{\alpha }_k\mu \left(A_k\right).\end{array}$$

(2) 如果 $f:X\to \bar{\mathbb{R}}\left(f\ge 0\right)$ ,则

$\int f\mathrm{d}\mu =sup\left\{\int g\mathrm{d}\mu :g\text{ 是基本函数,满足 }0\le g\left(x\right)\le f\left(x\right),\mathrm{\forall }x\in X\right\}.$ (12.212)

(3) 如果 $f:X\to \bar{\mathbb{R}}$ ,而 $f_{-},f_{+}$ 是 $f$ 是负部和正部,则

$$\begin{array}{}\text{(12.213)}& \int f\mathrm{d}\mu =\int f_{+}\mathrm{d}\mu -\int f_{-}\mathrm{d}\mu ,\end{array}$$

这里假定右端积分中至少有一个是有穷的 (以避免无意义的表达式: $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ ).

(4) 对于复值函数 $f=g+\mathrm{i}h$ ,如果函数 $g,h$ 的积分 (12.213) 是有穷的,则

$$\begin{array}{}\text{(12.214)}& \int f\mathrm{d}\mu =\int g\mathrm{d}\mu +\mathrm{i}\int h\mathrm{d}\mu .\end{array}$$

(5) 如果对于任意可测集 $A$ 和函数 $f$ ,函数 $f{\chi }_A$ 的积分存在,则记

$$\begin{array}{}\text{(12.215)}& {\int }_{A}f\mathrm{d}\mu \text{:=}\int f{\chi }_A\mathrm{d}\mu \end{array}$$

可测函数的积分一般是 $\bar{\mathbb{R}}$ 中的数. 函数 $f:X\to \bar{\mathbb{R}}$ 称作可积或可和,是指它可测且 $\int \left|f\right|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$ .

12.9.3.2 积分的某些性质

设 $\left(X,\mathcal{A},\mu \right)$ 是一个测度空间, $f,g:X\to \bar{\mathbb{R}}$ 是可测函数,且 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ .

(1) 如果 $f$ 可积,那么 $f$ 有穷, a.e.,即 $\mu \left(\{x\in X:\left|f\left(x\right)\right|=+\mathrm{\infty }\}\right)=0$ .

(2)如果 $f$ 可积,那么 $\left|\int f\mathrm{d}\mu \right|\le \int \left|f\right|\mathrm{d}\mu$ .

(3) 如果 $f$ 可积,且 $f\ge 0$ ,则 $\int f\mathrm{d}\mu \ge 0$ .

(4) 如果在 $X$ 上 $0\le g\left(x\right)\le f\left(x\right)$ ,并且 $f$ 可积,那么 $g$ 也可积,并且 $\int g\mathrm{d}\mu \le$$\int f\mathrm{d}\mu$

(5) 如果 $f,g$ 可积,那么 $\alpha f+\beta g$ 也可积,并且 $\int \left(\alpha f+\beta g\right)\mathrm{d}\mu =\alpha \int f\mathrm{d}\mu +$$\beta \int g\mathrm{d}\mu$

(6) 如果 $f,g$ 在 $A\in \mathcal{A}$ 上可积,即根据 (12.215) 存在积分 ${\int }_{A}f\mathrm{d}\mu$ 和 ${\int }_{A}g\mathrm{d}\mu$ , 并且假定在 $A$ 上 $f=g$ , a.e.,那么 ${\int }_{A}f\mathrm{d}\mu ={\int }_{A}g\mathrm{d}\mu$ .

如果 $X={\mathbb{R}}^n$ ,并且 $\lambda$ 是勒贝格测度,那么上面引入的积分是 $\left(n\text{ 维 }\right)$ 勒贝格积分(亦见第 674 页 8.2.3.1,3.). 在 $n=1$ 和 $A=\left[a,b\right]$ 的情形下,对于 $\left[a,b\right]$ 上的每个连续函数 $f$ ,黎曼积分 ${\int }_a^{b}f\mathrm{d}x$ (参见第 658 页 8.2.1.1,2.) 和勒贝格积分 ${\int }_{[a,b]}f\mathrm{d}\lambda$ 都有定义. 两个积分值都有穷并且彼此相等. 进而,如果 $f$ 是 $\left[a,b\right]$ 上的有界黎曼可积函数, 那么它也是勒贝格可积的, 并且两个值相等.

勒贝格可积函数集比起黎曼可积函数集要大得多, 并且它有不少优点, 例如, 当积分号下取极限时, $f$ 和 $\left|f\right|$ 同时勒贝格可积.

12.9.3.3 收敛定理

下面考虑勒贝格可测函数.

1. 关于单调收敛的莱维 (B. Levi) 定理

设 ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是取值于 $\bar{\mathbb{R}}$ 的 a.e. 单调递增非负可积函数列. 那么

$$\begin{array}{}\text{(12.216)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_n\mathrm{d}\mu =\int \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n\mathrm{d}\mu .\end{array}$$

2. 法图定理

设 ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是非负 $\bar{\mathbb{R}}$ 值可测函数列. 那么

$$\begin{array}{}\text{(12.217)}& \int lim inf{f}_n\mathrm{d}\mu \le lim inf\int f_n\mathrm{d}\mu .\end{array}$$

3. 勒贝格控制收敛定理

设 $\left\{f_n\right\}$ 是可测函数列,在 $X$ 上 a.e. 收敛于某个函数. 如果存在一可积函数 $g$ 使得 $\left|f_n\right|\le g$ a.e.,那么 $f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n$ 是可积函数,并且有

$$\begin{array}{}\text{(12.218)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_n\mathrm{d}\mu =\int \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n\mathrm{d}\mu .\end{array}$$

4. 拉东一尼科迪姆定理

a) 假设: 设 $\left(X,\mathcal{A},\mu \right)$ 是 $\sigma$ 有穷测度空间,即存在集列 $\left\{A_n\right\},A_n\in \mathcal{A}$ 使得 $X=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ ,并且 $\mu \left(A_n\right)<\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }n$ . 在这种情形下,测度称作 $\sigma$ 有穷的. 定义在 $\mathcal{A}$ 上的实函数 $\phi$ 称作相对于 $\mu$ 绝对连续,是指 $\mu \left(A\right)=0$ 蕴涵 $\phi \left(A\right)=0$ . 这一性质记作 $\phi \prec \mu$ .

对于可积函数 $f$ ,设 $A\in \mathcal{A}$ ,令 $\phi \left(A\right)={\int }_{A}f\mathrm{d}\mu$ ,则 $\phi$ 是 $\sigma$ 可加且相对于 $\mu$ 是绝对连续的函数. 这一性质的逆命题在许多理论研究及实际应用中起着重要作用.

b) 拉东一尼科迪姆定理: 假定在 $\sigma$ 代数 $\mathcal{A}$ 上给定一 $\sigma$ 可加函数 $\phi$ 和测度 $\mu$ , 并且设 $\phi \prec \mu$ . 那么存在一 $\mu$ 可积函数 $f$ ,使得对于每一 $A\in \mathcal{A}$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(12.219)}& \phi \left(A\right)={\int }_{A}f\mathrm{d}\mu .\end{array}$$

函数 $f$ 相对于等价类的范畴是唯一确定的,并且 $\phi$ 非负当且仅当 $f\ge 0\mu$ -a.e.