13.2.1 方向导数和空间导数

13.2.1.1 一个标量场的方向导数

一个标量场 $U=U\left(\overrightarrow{r}\right)$ 在具有位置向量 $\overrightarrow{r}$ 的点 $P$ 处关于方向 $\overrightarrow{c}$ 的方向导数 (图 13.10) 由下述商的极限所定义:

$$\begin{array}{}\text{(13.27)}& \frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{c}}=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{U\left(\overrightarrow{r}+\epsilon \overrightarrow{c}\right)-U\left(\overrightarrow{r}\right)}{\epsilon }.\end{array}$$

如果向量场 $U=U\left(\overrightarrow{r}\right)$ 在点 $\overrightarrow{r}$ 处关于 $\overrightarrow{c}$ 的单位向量 ${\overrightarrow{c}}^0$ 的方向导数记作 $\frac{\partial U}{\partial {\overrightarrow{c}}^0}$ ,则函数 $U$ 关于向量 $\overrightarrow{c}$ 和关于其单位向量 ${\overrightarrow{c}}^0$ 在同一点处的方向导数有下述关系

$$\begin{array}{}\text{(13.28)}& \frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{c}}=\left|\overrightarrow{c}\right|\frac{\partial U}{\partial {\overrightarrow{c}}^0}.\end{array}$$

关于单位向量 ${\overrightarrow{c}}^0$ 的导数 $\frac{\partial U}{\partial {\overrightarrow{c}}^0}$ 表示函数 $U$ 在点 $\overrightarrow{r}$ 处沿着向量 ${\overrightarrow{c}}^0$ 方向增加的速度. 如果 $\overrightarrow{n}$ 是通过点 $\overrightarrow{r}$ 的等值面的单位法向量,并且 $\overrightarrow{n}$ 指向 $U$ 增加的方向,则在该点处关于不同方向的单位向量的所有导数中, $\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}$ 有最大值. 在关于 $\overrightarrow{n}$ 的和关于 ${\overrightarrow{c}}^0$ 的方向导数之间有下述关系

$$\frac{\partial U}{\partial {\overrightarrow{c}}^0}=\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}\cos \left({\overrightarrow{c}}^0,\overrightarrow{n}\right)=\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}\cos \phi ={\overrightarrow{c}}^0\cdot \mathrm{grad}U\text{(见第 926 页的 (13.34)).}$$

(13.29)

此后, 方向导数总是指关于一个单位向量的方向导数.

13.2.1.2 一个向量场的方向导数

与标量场的方向导数类似地定义向量场的方向导数. 一个向量场 $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}\right)$ 在具有位置向量 $\overrightarrow{r}$ 的点 $P$ 处关于向量 $\overrightarrow{a}$ 的方向导数 (图 13.11) 由下述商的极限所定义:

$$\begin{array}{}\text{(13.30)}& \frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial \overrightarrow{a}}=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}+\epsilon \overrightarrow{a}\right)-\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}\right)}{\epsilon }.\end{array}$$

如果向量场 $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}\right)$ 在点 $\overrightarrow{r}$ 处关于 $\overrightarrow{a}$ 的单位向量 ${\overrightarrow{a}}^0$ 的方向导数记作 $\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial {\overrightarrow{a}}^0}$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(13.31)}& \frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial \overrightarrow{a}}=\left|\overrightarrow{a}\right|\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial {\overrightarrow{a}}^0}.\end{array}$$

在笛卡儿坐标系中,即对于 $\overrightarrow{V}=V_x{\overrightarrow{e}}_x+V_y{\overrightarrow{e}}_y+V_z{\overrightarrow{e}}_z,\overrightarrow{a}=a_x{\overrightarrow{e}}_x+a_y{\overrightarrow{e}}_y+a_z{\overrightarrow{e}}_z$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(13.32a)}& \left(\overrightarrow{a}\cdot \mathrm{grad}\right)\overrightarrow{V}=\left(\overrightarrow{a}\cdot \mathrm{grad}{V}_x\right){\overrightarrow{e}}_x+\left(\overrightarrow{a}\cdot \mathrm{grad}{V}_y\right){\overrightarrow{e}}_y+\left(\overrightarrow{a}\cdot \mathrm{grad}{V}_z\right){\overrightarrow{e}}_z.\end{array}$$

在一般坐标系中, 有

$$\left(\overrightarrow{a}\cdot \mathrm{grad}\right)\overrightarrow{V}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{rot}\left(\overrightarrow{V}\times \overrightarrow{a}\right)+\mathrm{grad}\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{V}\right)++\overrightarrow{a}\mathrm{div}\overrightarrow{V}-\overrightarrow{V}\mathrm{div}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\times \mathrm{rot}\overrightarrow{V}-\overrightarrow{V}\times \mathrm{rot}\overrightarrow{a}\right).$$

(13.32b)

13.2.1.3 体积导数

一个标量场 $U=U\left(\overrightarrow{r}\right)$ 或一个向量场 $\overrightarrow{V}$ 在一个点 $\overrightarrow{r}$ 处的体积导数是如下得到的 3 种形式的量:

(1)用一个闭曲面 $\sum$ 围住标量场或向量场的点 $\overrightarrow{r}$ . 可以用参数形式 $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left(u,v\right)=$ $x\left(u,v\right){\overrightarrow{e}}_x+y\left(u,v\right){\overrightarrow{e}}_y+z\left(u,v\right){\overrightarrow{e}}_z$ 来表示该曲面,因而相应的向量曲面元是

$$\begin{array}{}\text{(13.33a)}& \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v}\mathrm{d}u\mathrm{d}v.\end{array}$$

(2) 在闭曲面上求曲面积分. 这里, 可以考虑以下 3 种类型的积分:

$$\begin{array}{}\text{(13.33b)}& {\text{oiint}}_{\sum }U\mathrm{d}\overrightarrow{S},{\text{oiint}}_{\sum }\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S},{\text{oiint}}_{\sum }\overrightarrow{V}\times \mathrm{d}\overrightarrow{S}.\end{array}$$

(3) 确定下列极限 (如果它们存在)

$$\begin{array}{}\text{(13.33c)}& \underset{V\to 0}{lim}\frac{1}{V}{\text{oiint}}_{\sum }U\mathrm{d}\overrightarrow{S},\underset{V\to 0}{lim}\frac{1}{V}{\text{oiint}}_{\sum }\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S},\underset{V\to 0}{lim}\frac{1}{V}{\text{oiint}}_{\sum }\overrightarrow{V}\times \mathrm{d}\overrightarrow{S},\end{array}$$

这里 $V$ 表示包含具有位置向量 $\overrightarrow{r}$ 的点的、由所考虑的闭曲面 $\sum$ 所围的空间区域的体积.

(13.33c) 中诸极限被称为体积导数. 从这些导数按给定的次序可以导出一个标量场的梯度 (gradient of a scalar field) 与一个向量场的散度 (divergence) 和旋度 (rotation). 在下一节中, 将详细地讨论这些概念 (甚至重新定义它们).