12.4.3 希尔伯特空间中的傅里叶级数

12.4.3.1 最佳逼近

设 $H$ 是一可分的希尔伯特空间,并且

$$\begin{array}{}\text{(12.126)}& \left\{e_n:n=1,2,\cdots \right\}\end{array}$$

是 $H$ 中一给定的正交规范系. 对于元 $x\in H$ ,数 $c_n=\left(x,e_n\right)$ 称作 $x$ 相对于正交系 (12.126) 的傅里叶系数. (形式) 级数

$$\begin{array}{}\text{(12.127)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}_n\end{array}$$

称作元 $x$ 相对于正交系 (12.126) 的傅里叶级数(参见第 633 页 7.4.1.1,1.). 元 $x$ 的 $n$ 阶部分和具有最佳逼近性质,即对于固定的 $n$ ,傅里叶级数的 $n$ 阶部分和

$$\begin{array}{}\text{(12.128)}& {\sigma }_n=\sum _{k=1}^n\left(x,e_k\right)e_k\end{array}$$

使得 $\Vert \begin{array}{c}x-\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{e}_k\end{array}\Vert$ 在 $H_n=\mathrm{lin}\left(\left\{e_1,\cdots ,e_n\right\}\right)$ 的所有向量中达到最小值. 此外, $x-{\sigma }_n$ 与 $H_n$ 正交,并且成立如下贝塞尔不等式:

$$\begin{array}{}\text{(12.129)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|c_k\right|}^2\le \parallel x{\parallel }^2,c_n=\left(x,e_n\right)\left(n=1,2,\cdots \right).\end{array}$$

12.4.3.2 帕塞瓦尔等式、里斯-费希尔定理

任意元 $x\in H$ 的傅里叶级数总是收敛的. 其和是元 $x$ 在 $H_0=\stackrel{―}{\mathrm{lin}\left({\left\{e_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\right)}$ 上的投影. 如果元 $x$ 有表达式 $x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n{e}_n$ ,那么 ${\alpha }_n$ 是 $x$ 的傅里叶系数 $(n=$ $1,2,\cdots )$ . 如果 ${\left\{{\alpha }_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是满足 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|{\alpha }_n\right|}^2<\mathrm{\infty }$ 的任一数列,那么存在唯一元 $x\in H$ ,其傅里叶系数等于 ${\alpha }_n$ ,并且成立帕塞瓦尔等式:

$$\begin{array}{}\text{(12.130)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|(x,e_n)\right|}^2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|{\alpha }_n\right|}^2=\parallel x{\parallel }^2\text{ (里斯-费希尔定理). }\end{array}$$

$H$ 中的一正交系 $\left\{e_n\right\}$ 称作完备的,是指没有一个非零向量与所有 $e_n$ 正交; 称作 $H$ 的一个基,是指每个向量 $x\in H$ 都有表达式 $x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n{e}_n$ ,即 ${\alpha }_n=\left(x,e_n\right)$ , 并且 $x$ 等于其傅里叶级数之和. 在这种情况下,我们也可以说 $x$ 有傅里叶展开. 下列几个命题是等价的:

**a) $\{\ast \ast e_n\}$ 是 $H$ 的基本集.

**b) $\{\ast \ast e_n\}$ 在 $H$ 中是完备的.

**c) $\{\ast \ast e_n\}$ 是 $H$ 的基.

**d) $\mathrm{\forall }\ast \ast x,y\in H$ ,其相应的傅里叶系数为 $c_n,d_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ ,则成立

$$\begin{array}{}\text{(12.131)}& \left(x,y\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\overline{d_n}.\end{array}$$

e) 对于每个 $x\in H$ ,帕塞瓦尔等式 (12.130) 成立.

$◼\mathbf{A}$: 三角函数系 (12.121) 是空间 $L^2\left(\left(-\pi ,\pi \right)\right)$ 的基.

IB: 规范化勒让德多项式组 (12.124): ${\tilde{P}}_n\left(t\right)\left(n=1,2,\cdots \right)$ 在 $L^2\left(\left(-1,1\right)\right)$ 中是完备的, 因此是一个基.