12.4.2 正交性

希尔伯特空间 $H$ 中两个元 $x$ 和 $y$ 称作正交的(记作 $x\mathrm{\perp }y$ ),是指 $\left(x,y\right)=0$ (本节的概念同样适用于准希尔伯特空间和酉空间). 对于任意子集 $A\subset H$ ,与 $A$ 中每个向量都正交的所有向量的集合

$$\begin{array}{}\text{(12.116)}& A^{\mathrm{\perp }}=\{x\in H:\left(x,y\right)=0\mathrm{\forall }y\in A\}\end{array}$$

是 $H$ 的一个 (闭线性) 子空间,称作 $A$ 的正交空间,或 $A$ 的正交补. 记号 $A\mathrm{\perp }B$ 意味着对于所有 $x\in A$ 和 $y\in B$ ,有 $\left(x,y\right)=0$ . 如果 $A$ 由单个元 $x$ 组成,则使用记号 $x\mathrm{\perp }B$ .

12.4.2.1 正交性质

零向量与 $H$ 的每个向量都正交. 下列命题成立:

**a) $x\ast \ast \mathrm{\perp }y$ 和 $x\mathrm{\perp }z$ 蕴涵 $x\mathrm{\perp }\left(\alpha y+\beta z\right)\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ .

b) 从 $x\mathrm{\perp }{y}_n$ 和 $y_n\to y$ 得到 $x\mathrm{\perp }y$ .

**c) $x\ast \ast \mathrm{\perp }A$ 当且仅当 $x\mathrm{\perp }\overline{lim\left(A\right)}$ ,这里 $\overline{\mathrm{lin}\left(A\right)}$ 表示集 $A$ 的闭线性包.

d) 如果 $x\mathrm{\perp }A$ 并且 $A$ 是一个基本集,即 $\mathrm{lin}\left(A\right)$ 在 $H$ 中几乎处处稠,那么

e) 毕达哥拉斯定理 如果元 $x_1,\cdots ,x_n$ 是两两正交的,即 $x_k\mathrm{\perp }{x}_j,\mathrm{\forall }k\ne j$ , 则

$$\begin{array}{}\text{(12.117)}& {\Vert \begin{array}{c}\sum _{k=1}^n{x}_k\end{array}\Vert }^2=\sum _{k=1}^n{\Vert \begin{array}{c}{x}_k\end{array}\Vert }^2.\end{array}$$

f) 投影定理 如果 $H_0$ 是 $H$ 子空间,那么每一个向量 $x\in H$ 可以唯一地写成

$$\begin{array}{}\text{(12.118)}& x=x^{\prime }+x^{\prime \prime },x^{\prime }\in H_0,x^{\prime \prime }\mathrm{\perp }{H}_0.\end{array}$$

g) 逼近定理 此外,方程 $\Vert \begin{array}{c}{x}^{\prime }\end{array}\Vert =\rho \left(x,H_0\right)=\underset{y\in H_0}{inf}\{\parallel x-y\parallel \}$ 成立,从而问题

$$\begin{array}{}\text{(12.119)}& \parallel x-y\parallel \to inf,y\in H_0\end{array}$$

在 $H_0$ 中有唯一解 $x^{\prime }$ . 在这个命题中, $H_0$ 可以用 $H$ 的凸闭非空子集代替.

元 $x^{\prime }$ 称作元 $x$ 在 $H_0$ 上的投影. 它在 $H_0$ 中离 $x$ 距离最近,并且空间 $H$ 可以分解为 $H=H_0\oplus H_0^{\mathrm{\perp }}$ .

12.4.2.2 正交系

$H$ 中的向量集合 $\left\{x_{\xi }:\xi \in \mathrm{\Xi }\right\}$ 称作一个正交系,是指它不含零向量,并且 $x_{\xi }\mathrm{\perp }{x}_{\zeta },\xi \ne \zeta$ . 一个正交系称作正交规范的,是指除此外,还有 $\Vert \begin{array}{c}{x}_{\xi }\end{array}\Vert =1,\mathrm{\forall }\xi$ . 从而对于正交规范系 $\left\{x_{\xi }:\xi \in \mathrm{\Xi }\right\}$ ,有 $\left(x_{\xi },x_{\zeta }\right)={\delta }_{\xi \zeta }$ ,其中

$$\begin{array}{}\text{(12.120)}& {\delta }_{\xi \zeta }=\{\begin{array}{ll}1,& \xi =\zeta \\ 0,& \xi \ne \zeta \end{array}\end{array}$$

表示克罗内克符号 (参见第 362 页4.1.2,10.).

在可分希尔伯特空间中, 一个正交系至多能包含可数个元. 因此, 往后我们总是假定 $\mathrm{\Xi }=\mathbb{N}$ .

$◼\mathbf{A}$: 实空间 $L^2\left(\left(-\pi ,\pi \right)\right)$ 中的函数组

$$\begin{array}{}\text{(12.121)}& \frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{1}{\sqrt{\pi }}\cos t,\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sin t,\frac{1}{\sqrt{\pi }}\cos 2t,\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sin 2t,\cdots \end{array}$$

和复空间 $L^2\left(\left(-\pi ,\pi \right)\right)$ 中的函数组

$$\begin{array}{}\text{(12.122)}& \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}nt}\left(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)\end{array}$$

都是正交系, 二者都称作三角函数系.

$◼\mathbf{B}$:第一类勒让德多项式 (参见第 749 页 9.1.2.6, (2))

$$\begin{array}{}\text{(12.123)}& P_n\left(t\right)=\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}\left[{(t^2-1)}^n\right],n=0,1,2,\cdots \end{array}$$

构成空间 $L^2\left(\left(-1,1\right)\right)$ 中的正交系. 相应的正交规范系为

$$\begin{array}{}\text{(12.124)}& {\tilde{P}}_n\left(t\right)=\sqrt{n+\frac{1}{2}}\frac{1}{\left(2n\right)!!}{P}_n\left(t\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{C}$:根据埃尔米特微分方程第二定义 (9.66b) 得到的埃尔米特多项式 (参见第 751 页 9.1.2.6, 6. 和第 793 页 9.2.4, 3.)

$$\begin{array}{}\text{(12.125)}& H_n\left(t\right)={\mathrm{e}}^{t^2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}{\mathrm{e}}^{-t^2}\left(n=0,1,\cdots \right)\end{array}$$

构成空间 $L^2\left(\left(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\right)\right)$ 中的正交系.

$◼\mathbf{D}$: 拉盖尔多项式形成空间 $L^2\left(\left(0,\mathrm{\infty }\right)\right)$ 中的一个正交系 (参见第 750 页 9.1.2.6,5.).

每个正交系都是线性无关的,因为排除了零向量. 反之,如果 $x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$ 是希尔伯特空间 $H$ 中线性无关元组,那么通过格拉姆-施密特正交化方法(参见第 424 页 4.6.2.2,1.),可以得到向量 $e_1,e_2,\cdots ,e_n,\cdots$ 形成正交规范系. 它们张成同一个子空间, 并且这种方法所产生的这些向量仅差一个模为 1 的标量系数.