5.7.7 开关代数

布尔代数的典型应用是串联-并联 (SPC) 的简化. 因此一个布尔表达式被指派给某个 SPC(变换). 应用布尔代数的变换法则这个表达式将被 “化简”. 最后, 一个 SPC 被指派给这个表达式 (逆变换). 结果是一个简化了的 SPD, 它产生与初始连接系统同样的效果 (图 5.21).

SPC 有两种类型的连接点: “接通” 和 “断开”, 并且两种类型有两种状态: 开或关. 通常的符号表示是: 当设备工作时, 接通点闭且断开点开. 应用布尔变量对开关设备的连接指派如下:

设备的位置 “关” 或 “开” 对应于布尔变量的值 0 或 1 . 由相同设备切换的连接用相同的符号即属于这个设备的布尔变量来表示. 依据开关是未通电或是已通电, SPC 的连接值是 0 或 1 . 连接值取决于连接的位置, 所以它是指派给开关设备的变量的布尔函数 $S$ (开关函数). 图 5.22 给出了连接点、开关、符号以及对应的布尔表达式.

表示 SPC 的开关函数的布尔表达式有一个特殊的性质, 即否定符号只可能出现在变量的上方 (从不在子表达式的上方).

图 5.23 中 SPC 的化简. 这个联结对应于作为开关函数的布尔表达式

$$\begin{array}{}\text{(5.314)}& S=\left(\overline{a}\sqcap b\right)\bigsqcup \left(a\sqcap b\sqcap \overline{c}\right)\bigsqcup \left(\overline{a}\sqcap \left(b\bigsqcup c\right)\right).\end{array}$$

依据布尔代数的变换公式, 有

$$S=\left(b\sqcap \left(\overline{a}\bigsqcup \left(a\sqcap \overline{c}\right)\right)\right)\bigsqcup \left(\overline{a}\sqcap \left(b\bigsqcup c\right)\right)$$$$=\left(b\sqcap \left(\overline{a}\bigsqcup \overline{c}\right)\right)\bigsqcup \left(\overline{a}\sqcap \left(b\bigsqcup c\right)\right)$$$$=\left(\overline{a}\sqcap b\right)\bigsqcup \left(b\sqcap \overline{c}\right)\bigsqcup \left(\overline{a}\sqcap c\right)$$$$=\left(\overline{a}\sqcap b\sqcap c\right)\bigsqcup \left(\overline{a}\sqcap b\sqcap \overline{c}\right)\bigsqcup \left(b\sqcap \overline{c}\right)\bigsqcup \left(a\sqcap b\sqcap \overline{c}\right)\bigsqcup \left(\overline{a}\sqcap c\right)\bigsqcup \left(\overline{a}\sqcap c\right)\bigsqcup \left(\overline{a}\sqcap \overline{b}\sqcap c\right)$$$$\begin{array}{}\text{(5.315)}& =\left(\overline{a}\sqcap c\right)\bigsqcup \left(b\sqcap \overline{c}\right),\end{array}$$

其中我们从 $\left(\overline{a}\sqcap b\sqcap c\right)\bigsqcup \left(\overline{a}\sqcap c\right)\bigsqcup \left(\overline{a}\sqcap \overline{b}\sqcap c\right)$ 得到 $\overline{a}\sqcap c$ ,从 $\left(\overline{a}\sqcap b\sqcap \overline{c}\right)\bigsqcup \left(b\sqcap \overline{c}\right)\bigsqcup \left(a\sqcap b\sqcap \overline{c}\right)$ 得到 $b\sqcap \overline{c}$ . 化简后的最终结果 SPC 显示在图 5.24 中.

这个例子表明通常通过变换得到最简布尔表达式并不那么容易. 在文献中我们可以找到不同的化简方法.