10.1 定义问题

1. 积分表达式的极值

微分学的一个非常重要的问题是,对哪些 $x$ 值,给定的函数 $y\left(x\right)$ 有极值. 变分法讨论下述问题: 对哪些函数, 被积函数依赖于未知函数和它的一些导数的某个积分有极值. 变分法对在事先给定的函数类中确定所有的函数 $y\left(x\right)$ ,使得积分表达式

$$\begin{array}{}\text{(10.1)}& I\left[y\right]={\int }_a^{b}F\left(x,y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right),\cdots ,y^{\left(n\right)}\left(x\right)\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

有极值这件事感兴趣. 这里,有可能对函数 $y\left(x\right)$ 及其诸导数定义一些边界条件 (boundary conditions) 和辅助条件(side conditions).

2. 变分法的积分表达式

替代 (10.1) 中的 $x$ ,还可以有多个变量. 在这个情形,所出现的导数是偏导数, 并且 (10.1) 中的积分是多重积分. 在变分法中, 主要讨论下述一些类型的积分表达式:

$$\begin{array}{}\text{(10.2)}& I\left[y\right]={\int }_a^{b}F\left(x,y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right)\right)\mathrm{d}x,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(10.3)}& I\left[y_1,y_2,\cdots ,y_n\right]={\int }_a^{b}F\left(x,y_1\left(x\right),\cdots ,y_n\left(x\right),y_1^{\prime }\left(x\right),\cdots ,y_n^{\prime }\left(x\right)\right)\mathrm{d}x,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(10.4)}& I\left[y\right]={\int }_a^{b}F\left(x,y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right),\cdots ,y^{\left(n\right)}\left(x\right)\right)\mathrm{d}x,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(10.5)}& I\left[u\right]={\iint }_{\mathrm{\Omega }}F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\end{array}$$

最后一个表达式中未知函数是 $u=u\left(x,y\right),\mathrm{\Omega }$ 表示一个平面积分区域.

$$\begin{array}{}\text{(10.6)}& I\left[u\right]={\iiint }_{R}F\left(x,y,z,u,u_x,u_y,u_z\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.\end{array}$$

其中未知函数是 $u=u\left(x,y,z\right),R$ 表示一个空间积分区域. 此外,对于变分问题的解, 在一维情形,在积分区间的端点 $a,b$ 处; 在二维情形,在积分区域 $\mathrm{\Omega }$ 的边界上,可以给出其边界值. 而且还可以定义各种进一步的辅助条件, 例如, 以积分形式, 或者一个微分方程. 一个变分问题被称为一阶的(first-order) 或高阶的(higher-order), 取决于被积函数 $F$ 是否只包含函数 $y$ 的一阶导数 $y^{\prime }$ ,还是也包含高阶导数 $y^{\left(n\right)}\left(n>1\right)$ .

3. 变分问题的参数表示

一个变分问题还可以用参数形式(parametric form) 来提出. 考虑一条参数形式的曲线 $x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)\left(\alpha \le t\le \beta \right)$ ,那么,积分表达式 (10.2) 就有形式

$$\begin{array}{}\text{(10.7)}& I\left[x,y\right]={\int }_{\alpha }^{\beta }F\left(x\left(t\right),y\left(t\right),\dot{x}\left(t\right),\dot{y}\left(t\right)\right)\mathrm{d}t.\end{array}$$