2.6.4 指数和

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.60)}& y=a{\mathrm{e}}^{bx}+c{\mathrm{e}}^{dx}\end{array}$$

的特征符号关系如图 2.29 所示. 通过把两曲线的坐标相加,即 $y_1=a{\mathrm{e}}^{bx}$ 与 $y_2=c{\mathrm{e}}^{dx}$ 求和,得到函数的和,且该函数为连续函数. 若 $a,b,c,d$ 均不等于 0 , 曲线是图 2.29 中的四种形式之一. 依参数的符号不同, 图像可能会沿坐标轴反射.

设曲线与 $y$ 轴和 $x$ 轴的交点分别为 $A\left(0,a+c\right)$ 和 $B\left(\frac{\ln \left(-a/c\right)}{d-b},0\right)$ ,若函数有极值点 $C$ 和拐点 $D$ ,则它们分别在 $x=\frac{1}{d-b}\ln \left(-\frac{ab}{cd}\right)$ 和 $x=\frac{1}{d-b}\ln \left(-\frac{a{b}^2}{c{d}^2}\right)$ 处取得.

情形 $\mathbf{a}$ ) 参数 $a$ 与 $c$ 符号相同, $b$ 与 $d$ 符号相同: 函数不变号且严格单调; 它的值从 0 变到 $+\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$ ,亦或从 $+\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$ 变到 0 ; 无拐点,渐近线是 $x$ 轴 (图 2.29(a)).

情形 $\mathbf{b}$ ) 参数 $a$ 与 $c$ 符号相同, $b$ 与 $d$ 符号相反: 函数不变号,它的值或者从 $+\mathrm{\infty }$ 变到 $+\mathrm{\infty }$ ,且有极小值,或者从 $-\mathrm{\infty }$ 变到 $-\mathrm{\infty }$ ,且有极大值,无拐点 (图 2.29(b)).

情形 $\mathbf{c}$ ) 参数 $a$ 与 $c$ 符号相反, $b$ 与 $d$ 符号相同: 函数有极值,且在极值之前和之后均严格单调. 函数符号改变一次, 它的值可能由 0 变为极值, 再从极值变化到 $+\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$ ; 或者先从 $+\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$ 变化到极值,再趋于 0. $x$ 轴是它的一条渐近线,曲线的极值点为 $C$ ,拐点为 $D$ (图 2.29(c)).

情形 $\mathbf{d})$ 参数 $a$ 与 $c$ 符号相反, $b$ 与 $d$ 符号也相反: 函数严格单调,它的值从 $-\mathrm{\infty }$ 增加到 $+\mathrm{\infty }$ 或从 $+\mathrm{\infty }$ 减少到 $-\mathrm{\infty }$ ,拐点为 $D$ (图 2.29(d)).