14.6.4 魏尔斯特拉斯函数

魏尔斯特拉斯引进了函数

$$\begin{array}{}\text{(14.116a)}& \mathrm{\wp }\left(z\right)=\mathrm{\wp }\left(z,{\omega }_1,{\omega }_2\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.116b)}& \zeta \left(z\right)=\zeta \left(z,{\omega }_1,{\omega }_2\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.116c)}& \sigma \left(z\right)=\sigma \left(z,{\omega }_1,{\omega }_2\right),\end{array}$$

这里 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ 是其商非实数的两个任意复数. 做代换

$$\begin{array}{}\text{(14.117a)}& {\omega }_{mn}=2\left(m{\omega }_1+n{\omega }_2\right),\end{array}$$

其中 $m$ 和 $n$ 是任意整数,并定义

$$\begin{array}{}\text{(14.117b)}& \mathrm{\wp }\left(z,{\omega }_1,{\omega }_2\right)=z^{-2}+\sum _{m,n}{}^{\prime }\left[{(z-{\omega }_{mn})}^{-2}-{\omega }_{mn}^{-2}\right].\end{array}$$

求和号后面的撇表示忽略 $m=n=0$ 项. 函数 $\mathrm{\wp }\left(z,{\omega }_1,{\omega }_2\right)$ 有下列性质:

(1) 它是一个有周期 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ 的椭圆函数.

(2) 对于每个 $z\ne {\omega }_{mn}$ ,级数 (14.117b) 收敛.

(3) 函数 $\mathrm{\wp }\left(z,{\omega }_1,{\omega }_2\right)$ 满足微分方程

$$\begin{array}{}\text{(14.118a)}& {\mathrm{\wp }}^{\prime 2}=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3,\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(14.118b)}& g_2=60\sum _{m,n}{}^{\prime }{\omega }_{mn}^{-4},g_3=140\sum _{m,n}{}^{\prime }{\omega }_{mn}^{-6}.\end{array}$$

量 $g_2$ 和 $g_3$ 被称为 $\mathrm{\wp }\left(z,{\omega }_1,{\omega }_2\right)$ 的不变量 (invariants).

(4) 函数 $\mathrm{\wp }\left(z,{\omega }_1,{\omega }_2\right)$ 是积分

$$\begin{array}{}\text{(14.119)}& z={\int }_u^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{4t^3-g_{2}t-g_3}}\end{array}$$

的反函数.

$$\begin{array}{}\text{(14.120)}& \text{(5)}\mathrm{\wp }\left(u+v\right)=\frac{1}{4}{\left[\frac{{\mathrm{\wp }}^{\prime }\left(u\right)-{\mathrm{\wp }}^{\prime }\left(v\right)}{\mathrm{\wp }\left(u\right)-\mathrm{\wp }\left(v\right)}\right]}^2-\mathrm{\wp }\left(u\right)-\mathrm{\wp }\left(v\right)\text{.}\end{array}$$

魏尔斯特拉斯函数

$$\begin{array}{}\text{(14.121a)}& \zeta \left(z\right)=z^{-1}+\sum _{m,n}{}^{\prime }\left[{(z-{\omega }_{mn})}^{-1}+{\omega }_{mn}^{-1}+{\omega }_{mn}^{-2}z\right],\end{array}$$$$\sigma \left(z\right)=z\exp \left({\int }_0^z\left[\zeta \left(t\right)-t^{-1}\right]\mathrm{d}t\right)$$$$\begin{array}{}\text{(14.121b)}& =z\prod _{m,n}{}^{\prime }\left(1-\frac{z}{{\omega }_{mn}}\right)\exp \left(\frac{z}{{\omega }_{mn}}+\frac{z^2}{2{\omega }_{mn}^2}\right)\end{array}$$

不是双周期的, 因而它们不是椭圆函数. 下列关系式成立:

(1) ${\zeta }^{\prime }\left(z\right)=-\mathrm{\wp }\left(z\right),\zeta \left(z\right)=\ln \sigma \left(z\right)$ ;(14.122)

(2) $\zeta \left(-z\right)=-\zeta \left(z\right),\sigma \left(-z\right)=-\sigma \left(z\right)$ ;(14.123)

(3) $\zeta \left(z+2{\omega }_1\right)=\zeta \left(z\right)+2\zeta \left({\omega }_1\right),\zeta \left(z+2{\omega }_2\right)=\zeta \left(z\right)+2\zeta \left({\omega }_2\right)$ ;(14.124)

(4) $\zeta \left(u+v\right)=\zeta \left(u\right)+\zeta \left(v\right)+\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{\wp }}^{\prime }\left(u\right)-{\mathrm{\wp }}^{\prime }\left(v\right)}{\mathrm{\wp }\left(u\right)-\mathrm{\wp }\left(v\right)}$ ;(14.125)

(5) 每个椭圆函数是魏尔斯特拉斯函数 $\mathrm{\wp }\left(z\right)$ 和 $\zeta \left(z\right)$ 的有理函数.