15.4.2 $Z$ 变换的应用

15.4.2.1 线性差分方程的一般解法

$k$ 阶常系数线性差分方程形如

$$a_k{y}_{n+k}+a_{k-1}{y}_{n+k-1}+\cdots +a_2{y}_{n+2}+a_1{y}_{n+1}+a_0{y}_n=g_n\left(n=0,1,2,\cdots \right),$$

(15.132)

其中, $k$ 为自然数. 系数 $a_i\left(i=0,1,\cdots ,k\right)$ 是已知的实数或复数,且与 $n$ 无关. $a_0$ 和 $a_k$ 是非零数. 序列 $\left\{g_n\right\}$ 已知,序列 $\left\{y_n\right\}$ 待定.

为求 (15.132) 的特解,需要已知以前的值 $y_0,y_1,\cdots ,y_{k-1}$ . 此时,根据 (15.132), 当 $n=0$ 时,可求出下一个值 $y_k$ . 接下来,由 $y_0,y_1,\cdots ,y_k$ 和 (15.132),当 $n=1$ 时,可得到 $y_{k+1}$ . 按照这种方式,可递归计算所有的值 $y_n$ . 但对 (15.132) 运用第二移位定理 (15.114),利用 $Z$ 变换,对于值 $y_n$ 可给出一般解:

$$a_k{z}^k\left[Y\left(z\right)-y_0-y_1{z}^{-1}-\cdots -y_{k-1}{z}^{-\left(k-1\right)}\right]+\cdots$$$$\begin{array}{}\text{(15.133)}& +a_{1}z\left[Y\left(z\right)-y_0\right]+a_{0}Y\left(z\right)=G\left(z\right).\end{array}$$

其中, $Y\left(z\right)=\mathcal{Z}\left\{y_n\right\},G\left(z\right)=\mathcal{Z}\left\{g_n\right\}$ . 令 $a_k{z}^k+a_{k-1}{z}^{k-1}+\cdots +a_{1}z+a_0=p\left(z\right)$ , 则变换方程 (15.133) 的解为

$$\begin{array}{}\text{(15.134)}& Y\left(z\right)=\frac{1}{p\left(z\right)}G\left(z\right)+\frac{1}{p\left(z\right)}\sum _{i=0}^{k-1}{y}_i\sum _{j=i+1}^k{a}_j{z}^{j-i}.\end{array}$$

正如使用拉普拉斯变换求解线性微分方程的情况, $Z$ 变换也有类似的优势,即初值可包含在变换方程中, 故变换方程的解也自动包含了初值. 由 (15.134), 通过第 1042 页 15.4.1.5 中讨论的逆变换,可推出所求解 $\left\{y_n\right\}={\mathcal{Z}}^{-1}\{Y\left(z\right)\}$ .

15.4.2.2 二阶差分方程 (初值问题)

二阶线性差分方程形如

$$\begin{array}{}\text{(15.135)}& y_{n+2}+a_1{y}_{n+1}+a_0{y}_n=g_n,\end{array}$$

其中, $y_0$ 和 $y_1$ 作为初值已给出. 对 (15.135) 使用第二移位定理,变换方程是

$$\begin{array}{}\text{(15.136)}& z^2\left[Y\left(z\right)-y_0-y_1\frac{1}{z}\right]+a_{1}z\left[Y\left(z\right)-y_0\right]+a_{0}Y\left(z\right)=G\left(z\right).\end{array}$$

进行替换 $z^2+a_{1}z+a_0=p\left(z\right)$ ,解得

$$\begin{array}{}\text{(15.137)}& Y\left(z\right)=\frac{1}{p\left(z\right)}G\left(z\right)+y_0\frac{z\left(z+a_1\right)}{p\left(z\right)}+y_1\frac{z}{p\left(z\right)}.\end{array}$$

若多项式 $p\left(z\right)$ 的根是 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ ,则 ${\alpha }_1\ne 0,{\alpha }_2\ne 0$ ,否则 $a_0=0$ ,差分方程降为一阶. 通过部分分式分解和运用表 21.15 中的 $Z$ 变换,可得到

$$\frac{z}{p\left(z\right)}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}\left(\frac{z}{z-{\alpha }_1}-\frac{z}{z-{\alpha }_2}\right),& {\alpha }_1\ne {\alpha }_2,\\ \frac{z}{{(z-{\alpha }_1)}^2},& {\alpha }_1={\alpha }_2,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.138a)}& {\mathcal{Z}}^{-1}\left\{\frac{z}{p\left(z\right)}\right\}=\left\{p_n\right\}=\{\begin{array}{ll}\frac{{\alpha }_1^n-{\alpha }_2^n}{{\alpha }_1-{\alpha }_2},& {\alpha }_1\ne {\alpha }_2,\\ n{\alpha }_1^{n-1},& {\alpha }_1={\alpha }_2.\end{array}\end{array}$$

由于 $p_0=0$ ,利用第二移位定理,有

$$\begin{array}{}\text{(15.138b)}& {\mathcal{Z}}^{-1}\left\{\frac{z^2}{p\left(z\right)}\right\}={\mathcal{Z}}^{-1}\left\{z\frac{z}{p\left(z\right)}\right\}=\left\{p_{n+1}\right\},\end{array}$$

以及利用第一移位定理

$$\begin{array}{}\text{(15.138c)}& {\mathcal{Z}}^{-1}\left\{\frac{1}{p\left(z\right)}\right\}={\mathcal{Z}}^{-1}\left\{\frac{1}{z}\frac{z}{p\left(z\right)}\right\}=\left\{p_{n-1}\right\},\end{array}$$

进行替换 $p_{-1}=0$ ,基于卷积定理,可得到原序列

$$\begin{array}{}\text{(15.138d)}& y_n=\sum _{v=0}^n{p}_{v-1}{g}_{n-v}+y_0\left(p_{n+1}+a_1{p}_n\right)+y_1{p}_n.\end{array}$$

由于 $p_{-1}=p_0=0$ ,该关系式和 (15.138a) 表明,当 ${\alpha }_1\ne {\alpha }_2$ 时,可推出

$$y_n=\sum _{v=2}^n{g}_{n-v}\frac{{\alpha }_1^{v-1}-{\alpha }_2^{v-1}}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}+y_0\left(\frac{{\alpha }_1^{n+1}-{\alpha }_2^{n+1}}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}+a_1\frac{{\alpha }_1^n-{\alpha }_2^n}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}\right)+y_1\frac{{\alpha }_1^n-{\alpha }_2^n}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}.$$

(15.138e)

该关系式可进一步简化. 由于 ${\alpha }_1=-\left({\alpha }_1+{\alpha }_2\right)$ 和 ${\alpha }_0={\alpha }_1{\alpha }_2$ (参见第 56 页,1.6.3.1, 3. 韦达定理), 故

$$\begin{array}{}\text{(15.138f)}& y_n=\sum _{v=2}^n{g}_{n-v}\frac{{\alpha }_1^{v-1}-{\alpha }_2^{v-1}}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}-y_0{a}_0\frac{{\alpha }_1^{n-1}-{\alpha }_2^{n-1}}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}+y_1\frac{{\alpha }_1^n-{\alpha }_2^n}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}.\end{array}$$

类似地,当 ${\alpha }_1={\alpha }_2$ 时,有

$$\begin{array}{}\text{(15.138g)}& y_n=\sum _{v=2}^n{g}_{n-v}\left(v-1\right){\alpha }_1^{v-2}-y_0{a}_0\left(n-1\right){\alpha }_1^{n-2}+y_{1}n{\alpha }_1^{n-1}.\end{array}$$

在二阶差分方程的情况下, 可以不进行部分分式分解, 而使用一些对应关系, 比如

$$\begin{array}{}\text{(15.139)}& {\mathcal{Z}}^{-1}\left\{\frac{z}{z^2-2az\cosh b+a^2}\right\}=a^{n-1}\frac{\sinh bn}{\sinh n},\end{array}$$

以及第二移位定理,求变换 $Y\left(z\right)$ 的逆变换. 通过替换 $a_1=-2a\cosh b$ 和 $a_0=a^2$ , (15.137) 的原序列成为

$$y_n=\frac{1}{\sinh b}\left[\sum _{v=2}^n{g}_{n-v}{a}^{v-2}\sinh \left(v-1\right)b-y_0{a}^n\sinh \left(n-1\right)b+y_1{a}^{n-1}\sinh nb\right].$$

(15.140)

在数值计算中,尤其是当 $a_0$ 和 $a_1$ 是复数时,该公式非常有用.

注 注意对复变量也可以定义双曲线函数.

15.4.2.3 二阶差分方程 (边值问题)

在应用中,经常出现,只需对有限指数 $0\le n\le N$ ,求差分方程的值 $y_n$ . 在二阶差分方程 (15.135) 的情况下,边值 $y_0$ 和 $y_N$ 通常是已知的. 为求解边值问题,可从对应初值问题的解 (15.138f) 出发,其中利用 $y_N$ 而不是未知的 $y_1$ . 在 (15.138f) 中进行替换 $n=N$ ,可得到 $y_1$ ,它依赖于 $y_0$ 和 $y_N$ :

$$y_1=\frac{1}{{\alpha }_1^N-{\alpha }_2^N}\left[y_0{a}_0\left({\alpha }_1^{N-1}-{\alpha }_2^{N-1}\right)+y_N\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)-\sum _{v=2}^N\left({\alpha }_1^{v-1}-{\alpha }_2^{v-1}\right)g_{N-v}\right].$$

(15.141)

把该值替换到(15.138f)中,可得

$$y_n=\frac{1}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}\sum _{v=2}^n\left({\alpha }_1^{v-1}-{\alpha }_2^{v-1}\right)g_{n-v}-\frac{1}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}\frac{{\alpha }_1^n-{\alpha }_2^n}{{\alpha }_1^N-{\alpha }_2^N}\sum _{v=2}^N\left({\alpha }_1^{v-1}-{\alpha }_2^{v-1}\right)g_{N-v}$$$$\begin{array}{}\text{(15.142)}& +\frac{1}{{\alpha }_1^N-{\alpha }_2^N}\left[y_0\left({\alpha }_1^N{\alpha }_2^n-{\alpha }_1^n{\alpha }_2^N\right)+y_N\left({\alpha }_1^n-{\alpha }_2^n\right)\right].\end{array}$$

只有当 ${\alpha }_1^N-{\alpha }_2^N\ne 0$ 时,解 (15.142) 才有意义. 否则,边值问题没有一般解, 但与微分方程的边值问题类似, 会出现特征值和特征向量