12.9.2 可测函数

12.9.2.1 可测函数

设 $\mathcal{A}$ 是集合 $X$ 的子集的 $\sigma$ 代数. 函数 $f:X\to \bar{\mathbb{R}}$ 称作可测的,是指对于任意 $\alpha \in \mathbb{R}$ ,集合 $f^{-1}(\left(\alpha ,+\mathrm{\infty }]\right)=\{x:x\in X,f\left(x\right)>\alpha \}$ 属于 $\mathcal{A}$ . 复值函数 $g+\mathrm{i}h$ 称作可测的,是指两个函数 $g$ 和 $h$ 都可测. 每个集合 $A\in \mathcal{A}$ 的特征函数 ${\chi }_A$ 是可测的, 因为

$$\begin{array}{}\text{(12.210)}& {\chi }_A^{-1}(\left(\alpha ,+\mathrm{\infty }]\right)=\{\begin{array}{ll}A,& \alpha \in \left(-\mathrm{\infty },1\right),\\ \varnothing ,& \alpha \ge 1\end{array}\end{array}$$

成立 (参见第 906 页狄拉克测度). 如果 $\mathcal{A}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中勒贝格可测集的 $\sigma$ 代数,并且 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是连续函数,那么根据第 874 页 12.2.3,对于每个 $\alpha \in \mathbb{R}$ ,集合 $f^{-1}(\left(\alpha ,+\mathrm{\infty }]\right)=f^{-1}\left(\left(\alpha ,+\mathrm{\infty }\right)\right)$ 是开集,从而 $f$ 是可测函数.

12.9.2.2 可测函数类的性质

可测函数的概念其实不一定需要测度,而只要 $\sigma$ 代数. 设 $\mathcal{A}$ 是集合 $X$ 的子集的 $\sigma$ 代数,而 $f,g,f_n:X\to \bar{\mathbb{R}}$ 是可测函数. 那么如下函数 (参见第 863 页 12.1.7.4) 也是可测的:

**a) $\alpha \ast \ast f,\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{R};f\cdot g$ ;

**b) $f_{\ast \ast +},f_{-},\left|f\right|,f\vee g,f\wedge g$ ;

**c) $f\ast \ast +g$ ,如果其在 $X$ 中各点处的值都不会出现表达式 $\left(\pm \mathrm{\infty }\right)+\left(\mp \mathrm{\infty }\right)$ ;

**d) $sup\ast \ast f_n,inf{f}_n,limsup{f}_n\left(=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{sup}{f}_n\right),liminf{f}_n$ ;

e) 点点极限 $lim{f}_n$ ,当它存在时;

f) 如果 $f\ge 0$ ,并且 $p\in \mathbb{R},p>0$ ,则 $f^p$ 是可测函数.

函数 $f:X\to \mathbb{R}$ 称作基本的或简单的,是指存在有穷个两两不相交的集合 $A_1,\cdots ,A_n\in \mathcal{A}$ 和实数 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 使得 $f=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{\chi }_k$ ,其中 ${\chi }_k$ 表示集合 $A_k$ 的特征函数. 由于每个可测集的特征函数都是可测的 (参见 (12.210)), 故每个基本函数都是可测的. 有意思的是, 每个可测函数可以用基本函数任意逼近: 对于每个可测函数 $f\ge 0$ ,存在单调递增的非负基本函数列点点收敛于 $f$ .