5.9.3 模糊值关系

5.9.3.1 模糊关系

1. 模糊值关系建模

不确知或模糊值关系, 例如 “近似相等” “基本上大于” “基本上小于” 等在实际应用中起重要作用. 数之间的关系被理解为 ${\mathbb{R}}^2$ 的子集合. 例如,相等 “ $=$ ” 被定义为集合

$$\begin{array}{}\text{(5.359)}& \mathcal{A}=\left\{\left(x,y\right)\in {\mathbb{R}}^2\mid x=y\right\},\end{array}$$

即用 ${\mathbb{R}}^2$ 中的一条直线 $y=x$ 定义.

可以应用 ${\mathbb{R}}^2$ 上的核为 $\mathcal{A}$ 的模糊子集给关系 “近似相等” (将它记作 $R_1$ ) 建模. 此外还要求隶属函数是递减的并且沿着直线 $\mathcal{A}$ 趋于零. 可以用

$$\begin{array}{}\text{(5.360)}& {\mu }_{R_1}\left(x,y\right)=max\{0,1-a\left|x-y\right|\},a\in \mathbb{R},a>0\end{array}$$

作为线性递减隶属函数的模型. 为建立关系 $R_2$ “基本上大于” 的模型,从清晰关系 “ $\ge$ ” 出发是有效的. 对应的值集由

$$\begin{array}{}\text{(5.361)}& \left\{\left(x,y\right)\in {\mathbb{R}}^2\mid x\le y\right\}\end{array}$$

给出. 它刻画了直线 $x=y$ 上方的清晰区域.

修饰语 “基本上” 意味着在 (5.361) 中半空间下方的稀疏区域也是以某个等级可以接受的. 于是 $R_2$ 的模型是

$$\begin{array}{}\text{(5.362)}& {\mu }_{R_2}\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}max\{0,1-a\left|x-y\right|\},& y<x,\\ 1,& y\ge x,\end{array}\text{其中}a\in \mathbb{R},a>0\text{.}\end{array}$$

如果变量之一的值是固定的,例如, $y=y_0$ ,那么 $R_2$ 可以解释为另一变量边界不确知的区域.

用模糊关系处理不确知边界在模糊最优化、定性数据分析以及模式分类中具有实际重要性.

前面的讨论表明模糊关系即几个对象间的模糊关系的概念可以用模糊集刻画. 下节将在由有序对组成的全域上讨论二元关系的基本性质.

2. 笛卡儿积

设 $X$ 和 $Y$ 是两个全域. 它们的 “叉积” $X\times Y$ ,或笛卡儿积,是一个全域 $G$ :

$$\begin{array}{}\text{(5.363)}& G=X\times Y=\{\left(x,y\right)\mid x\in X\wedge y\in Y\}.\end{array}$$

于是,类似于经典集合论,若 $G$ 上的一个模糊集由全域 $X$ 和 $Y$ 的一对值组成,则它是一个模糊关系. $G$ 中的一个模糊关系 $R$ 是一个模糊子集 $R\in F\left(G\right)$ ,其中 $F\left(G\right)$ 表示所有 $X\times Y$ 上的模糊集组成的集合. $R$ 可以用隶属函数 ${\mu }_R\left(x,y\right)$ 给出,这个函数对每个元素 $\left(x,y\right)\in G$ 指派一个属于 $\left[0,1\right]$ 的隶属等级 ${\mu }_R\left(x,y\right)$ .

3. 模糊值关系的性质

(E1) 因为模糊关系是特殊的模糊集合, 所以对模糊集叙述的所有性质对模糊关系也成立.

(E2) 对模糊集定义的所有聚合也可以对模糊关系定义; 它们又产生一个模糊关系.

(E3) 上文定义的 $\alpha$ 切割概念可以毫无困难地转移到模糊关系.

(E4) 模糊关系 $R\in F\left(G\right)$ 的 0 切割 (支撑的闭包) 是 $G$ 上的通常关系.

(E5) 用 ${\mu }_R\left(x,y\right)$ 表示隶属值,即在此等级下一对量(x, y)之间关系 $R$ 成立. 值 ${\mu }_R\left(x,y\right)=1$ 意味着对于一对量 $\left(x,y\right),R$ 完全成立,而值 ${\mu }_R\left(x,y\right)=0$ 意味着对于一对量 $\left(x,y\right),R$ 根本不成立.

(E6) 设 $R\in F\left(G\right)$ 是一个模糊关系. 那么模糊关系 $S\text{:=}{R}^{-1}$ ,即 $R$ 的逆,定义为

$$\begin{array}{}\text{(5.364)}& {\mu }_S\left(x,y\right)={\mu }_R\left(y,x\right)\left(\text{ 对每个 }\left(x,y\right)\in G\right).\end{array}$$

逆关系 $R_2^{-1}$ 表示 “基本上小于” (参见第 567 页 5.9.3.1,1.); 并 $R_1\cup R_2^{-1}$ 可以确定为 “基本上小于或近似等于”.

4. $n$ 重笛卡儿积

设 $n$ 是全域的个数. 它们的叉积是一个 $n$ 重笛卡儿积. $n$ 重笛卡儿积上的模糊集表示 $n$ 重模糊关系.

推论 到现在为止模糊集被看作一元模糊关系, 即在分析的意义下它们是全域上的曲线. 一个二元模糊关系可以看作全域 $G$ 上的曲面. 有限离散支撑上的二元模糊关系可以用模糊关系矩阵表示.

色彩成熟等级关系: 众所周知的色彩 $x$ 与水果成熟等级 $y$ 间的对应关系是用具有元素 $\{0,1\}$ 的二元关系矩阵的形式建立模型的. 可能的色彩是 $X=\{$ 绿,黄,红 $\}$ , 而成熟等级是 $Y=\{$ 未成熟,半成熟,成熟 $\}$ . 关系矩阵 (5.365) 从属于下表:(5.365)

	未成熟	半成熟	成熟	$R=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$
	1	0	0
绿黄红	0	1	0
	0	0	1

这个关系矩阵的解释 如果水果是绿色的, 那么它是未成熟的. 如果水果是黄色的, 那么它是半成熟的. 如果水果是红色的, 那么它是成熟的. 绿色、黄色、红色唯一地指派给未成熟的、半成熟的、成熟的 (水果). 如果除此之外要表述绿色水果可以以某个百分比看作半成熟的, 那么可以列出下列离散隶属值表:

${\mu }_R$ (绿色,未成熟) $=1.0,{\mu }_R$ (绿色,半成熟) $=0.5$ ,

${\mu }_R$ (绿色,成熟) $=0.0,{\mu }_R$ (黄色,未成熟) $=0.25$ ,

${\mu }_R$ (黄色,半成熟) $=1.0,{\mu }_R$ (黄色,成熟) $=0.25$ ,

${\mu }_R$ (红色,未成熟) $=0.0,{\mu }_R$ (红色,半成熟) $=0.5$ ,

${\mu }_R$ (红色,成熟) $=1.0$ .

${\mu }_R\in \left[0,1\right]$ 的关系矩阵是

$$\begin{array}{}\text{(5.366)}& R=\left(\begin{array}{ccc}1.0& 0.5& 0.0\\ 0.25& 1.0& 0.25\\ 0.0& 0.5& 1.0\end{array}\right)\end{array}$$

5. 计算法则

通过极小值运算将在不同的全域上给出的 AND 型的模糊集 (例如) ${\mu }_1:X\to$ $\left[0,1\right]$ 和 ${\mu }_2:Y\to \left[0,1\right]$ 的聚合表述如下:

$${\mu }_R\left(x,y\right)=min\left\{{\mu }_1\left(x\right),{\mu }_2\left(y\right)\right\}\text{ 或 }\left({\mu }_1\times {\mu }_2\right)\left(x,y\right)=min\left\{{\mu }_1\left(x\right),{\mu }_2\left(y\right)\right\},$$

(5.367a)其中

$$\begin{array}{}\text{(5.367b)}& {\mu }_1\times {\mu }_2:G\to \left[0,1\right]\left(G=X\times Y\right).\end{array}$$

这个聚合的结果是叉积集 (模糊集的笛卡儿积全域) $G\left(\text{其中}\left(x,y\right)\in G\right)$ 上的模糊关系. 如果 $X$ 和 $Y$ 是离散有限集,因而 ${\mu }_1\left(x\right),{\mu }_2\left(x\right)$ 可以表示为向量,那么有

$$\begin{array}{}\text{(5.368)}& {\mu }_1\times {\mu }_2={\mu }_1\circ {\mu }_2^{\mathrm{T}},{\mu }_{R^{-1}}\left(x,y\right)\text{:=}{\mu }_R\left(y,x\right),\mathrm{\forall }\left(x,y\right)\in G.\end{array}$$

这里聚合算子 $\circ$ 并不表示通常的矩阵积. 此处乘法是按分量的极小值运算,而加法是按分量的极大值运算.

对(x, y)的逆关系 $R^{-1}$ 的有效等级总是等于对(y, x)的 $R$ 的有效等级.

如果模糊关系在相同的笛卡儿积全域上给定, 那么它们聚合的结果可以给出如下: 设 $R_1,R_2:X\times Y\to \left[0,1\right]$ 是二元模糊关系. 它们的 AND 型聚合的计算法则使用极小值算子,即对于所有 $\left(x,y\right)\in G$ :

$$\begin{array}{}\text{(5.369)}& {\mu }_{R_1\cap R_2}\left(x,y\right)=min\left\{{\mu }_{R_1}\left(x,y\right),{\mu }_{R_2}\left(x,y\right)\right\}.\end{array}$$

对于 $\mathrm{OR}$ 型聚合,相应的计算法则由极大值运算给出:

$$\begin{array}{}\text{(5.370)}& {\mu }_{R_1\cup R_2}\left(x,y\right)=max\left\{{\mu }_{R_1}\left(x,y\right),{\mu }_{R_2}\left(x,y\right)\right\}.\end{array}$$

5.9.3.2 模糊集关系 $\mathbf{R}\circ \mathbf{S}$

1. 复合或乘积关系

设 $R\in F\left(X\times Y\right)$ 和 $S\in F\left(Y\times Z\right)$ 是两个关系,并且还设 $R,S\in F\left(G\right)$ ,其中 $G\subseteq X\times Z$ . 那么复合或模糊集关系 $R\circ S$ 是

$$\begin{array}{}\text{(5.371)}& {\mu }_{R\circ S}\left(x,z\right)\text{:=}\underset{y\in Y}{sup}\left\{min\left\{{\mu }_R\left(x,y\right),{\mu }_S\left(y,z\right)\right\}\right\},\mathrm{\forall }\left(x,z\right)\in X\times Z.\end{array}$$

如果对有限全域类似于 (5.366) 应用矩阵表示,那么复合 $R\circ S$ 被导致如下: 设 $X=\left\{x_1,\cdots ,x_n\right\},Y=\left\{y_1,\cdots ,y_m\right\},Z=\left\{z_1,\cdots ,z_l\right\}$ ,以及 $R\in F\left(X\times Y\right),S\in$ $F\left(Y\times Z\right)$ ,并且设矩阵表示 $R,S$ 的形式为 $R=\left(r_{ij}\right)$ 和 $S=\left(s_{jk}\right)(i=1,\cdots ,n;j=$ $1,\cdots ,m;k=1,\cdots ,l)$ ,其中

$$\begin{array}{}\text{(5.372)}& r_{ij}={\mu }_R\left(x_i,y_j\right)\text{,以及 }{s}_{jk}={\mu }_S\left(y_j,z_k\right).\end{array}$$

如果复合 $T=R\circ S$ 有矩阵表示 $t_{ik}$ ,那么

$$\begin{array}{}\text{(5.373)}& t_{ik}=\underset{j}{sup}min\left\{r_{ij},s_{jk}\right\}.\end{array}$$

因为这里用最小上界 (上确界) 运算代替求和运算, 并且用下确界运算代替乘法, 所以最后结果并不是通常的矩阵乘积.

应用 $r_{ij}$ 和 $s_{jk}$ 的表达式以及方程 (5.371),逆关系 $R^{-1}$ 也可通过 $\left(r_{ij}\right)$ 的转置矩阵表示,即 $R^{-1}={\left(r_{ij}\right)}^{\mathrm{T}}$ .

解释 设 $R$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的关系, $S$ 是从 $Y$ 到 $Z$ 的关系. 那么下列的复合是可能的:

a) 如果 $R$ 和 $S$ 的复合 $R\circ S$ 定义为 max-min 积,那么得到的模糊复合称为

max-min 复合. 符号 sup 表示上确界, 并且若极大值不存在则表示最大值.

b) 如果乘积复合定义为通常的矩阵乘法, 那么得到 max 乘积复合.

c) 对于 max 平均复合, 用平均代替 “乘法”.

2. 复合法则

下列结果对模糊关系 $R,S,T\in F\left(G\right)$ 成立:

(E1) 结合律

$$\begin{array}{}\text{(5.374)}& \left(R\circ S\right)\circ T=R\circ \left(S\circ T\right).\end{array}$$

(E2) 复合对于并的分配律

$$\begin{array}{}\text{(5.375)}& R\circ \left(S\cup T\right)=\left(R\circ S\right)\cup \left(R\circ T\right).\end{array}$$

(E3) 复合对于交的弱形式分配律

$$\begin{array}{}\text{(5.376)}& R\circ \left(S\cap T\right)\subseteq \left(R\circ S\right)\cap \left(R\circ T\right).\end{array}$$

(E4) 逆运算

$${(R\circ S)}^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1},{(R\cup S)}^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1},{(R\cap S)}^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}.$$

(5.377)

(E5) 补和逆

$$\begin{array}{}\text{(5.378)}& {\left(R^{-1}\right)}^{-1}=R,{\left(R^{\mathrm{C}}\right)}^{-1}={\left(R^{-1}\right)}^{\mathrm{C}}.\end{array}$$

(E6) 单调性质

$$\begin{array}{}\text{(5.379)}& R\subseteq S\Rightarrow R\circ T\subseteq S\circ T,\text{ 以及 }T\circ R\subseteq T\circ S.\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: 如同我们对交结构所作的那样,乘积关系 $R\circ S$ 的方程 (5.371) 是由极小值运算定义的. 一般地,任何 $t$ 范数可以用来代替极小值运算.

$◼\mathbf{B}$: 对于并、交以及复合的 $\alpha$ 切割是: ${(A\cup B)}^{>\alpha }=A^{>\alpha }\cup B^{>\alpha },{(A\cap B)}^{>\alpha }=$ $A^{>\alpha }\cap B^{>\alpha },{\left(A^{\mathrm{C}}\right)}^{>\alpha }=A^{\le 1-\alpha }=\left\{x\in X\mid {\mu }_A\left(x\right)\le 1-\alpha \right\}$ . 对于强 $\alpha$ 切割相应的表述也成立.

3. 模糊逻辑推理

借助复合法则 ${\mu }_2={\mu }_1\circ R$ 进行 (例如) 应用 IF THEN(若-则) 法则的模糊推理是可能的. 结论 ${\mu }_2$ 的详细公式由

$$\begin{array}{}\text{(5.380)}& {\mu }_2\left(y\right)=\underset{x\in X}{max}\left\{min\left\{{\mu }_1\left(x\right),{\mu }_R\left(x,y\right)\right\}\right\}\end{array}$$

给出,其中 $y\in Y,{\mu }_1:X\to \left[0,1\right],{\mu }_2:Y\to \left[0,1\right],R:G\to \left[0,1\right]$ ,以及 $G=$ $X\times Y$ .