13.5.2 泊松微分方程

根据 $q\left(\overrightarrow{r}\right)\ne 0$ 的 (13.128),对一个具有给定散度的向量场 ${\overrightarrow{V}}_1=\mathrm{grad}U$ 确定其位势的问题导致泊松微分方程

$$\begin{array}{}\text{(13.135a)}& \mathrm{div}{\overrightarrow{V}}_1=\mathrm{div}\mathrm{grad}U=\mathrm{\Delta }U=q\left(\overrightarrow{r}\right)\ne 0.\end{array}$$

由于在笛卡儿坐标系中有

$$\begin{array}{}\text{(13.135b)}& \mathrm{\Delta }U=\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2},\end{array}$$

因而拉普拉斯微分方程 (13.134b) 是泊松微分方程 (13.135b) 的特殊情形. 泊松微分方程的解是 (对于质点的) 牛顿位势, 或 (对于点荷的) 库仑位势

$$\begin{array}{}\text{(13.135c)}& U=-\frac{1}{4\pi }\iiint \frac{q\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)\mathrm{d}v\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\ast }|}.\end{array}$$

上述积分是展布在全空间上的. 当 $\left|\overrightarrow{r}\right|$ 增加时, $U\left(\overrightarrow{r}\right)$ 很快地趋于零.

可以如同在 13.5.1 中对于拉普拉斯微分方程的解那样, 对于泊松微分方程也可讨论同样的 3 种边值问题. 可以唯一地解第一类和第三类边值问题; 而对于第二类边值问题, 必须指定更多特殊的条件 (见 [9.5]).

(陆柱家 译)