12.6.1 有界算子的伴随

设给定线性连续算子 $T:X\to Y(X,Y$ 为赋范空间),对于每个 $g\in Y^{\ast }$ ,通过 $f\left(x\right)=g\left(Tx\right),\mathrm{\forall }x\in X$ ,定义出一新的泛函 $f\in X^{\ast }$ . 由此可得一个连续线性算子

$$\begin{array}{}\text{(12.177)}& T^{\ast }:Y^{\ast }\to X^{\ast },\left(T^{\ast }g\right)\left(x\right)=g\left(Tx\right),\mathrm{\forall }g\in Y^{\ast },x\in X,\end{array}$$

它称作 $T$ 的伴随算子,并具有如下性质:

$${(T+S)}^{\ast }=T^{\ast }+S^{\ast },{\left(ST\right)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast },\Vert \begin{array}{c}{T}^{\ast }\end{array}\Vert =\parallel T\parallel ,$$

这里对于线性算子 $T:X\to Y,S:Y\to Z\left(X,Y,Z\text{为赋范空间}\right)$ ,算子 $ST$ 以自然方式定义为 $\left(ST\right)\left(x\right)=S\left(T\left(x\right)\right)$ (参见第 878 页 12.3.4, $◼\mathbf{C}$). 利用第 860 页 12.1.5 和第 890 页 12.5.4.2 引入的记号,对于算子 $T\in \mathcal{B}\left(X,Y\right)$ ,下列等式成立:

$$\begin{array}{}\text{(12.178)}& \overline{\mathrm{Im}\left(T\right)}=\ker {\left(T^{\ast }\right)}^{\mathrm{\perp }},\overline{\mathrm{Im}\left(T^{\ast }\right)}=\ker {\left(T\right)}^{\mathrm{\perp }},\end{array}$$

这里 $\mathrm{Im}\left(T\right)$ 的闭性蕴涵 $\mathrm{Im}\left(T^{\ast }\right)$ 的闭性.

从 $T^{\ast }$ 的伴随 ${\left(T^{\ast }\right)}^{\ast }$ 得到的算子 $T^{\ast \ast }:X^{\ast \ast }\to Y^{\ast \ast }$ 称作 $T$ 的第二伴随. 由于 $\left(T^{\ast \ast }\left(F_x\right)\right)g=F_x\left(T^{\ast }g\right)=\left(T^{\ast }g\right)\left(x\right)=g\left(Tx\right)=F_{Tx}\left(g\right)$ ,算子 $T^{\ast \ast }$ 具有如下性质: 如果 $F_x\in X^{\ast \ast }$ ,那么 $T^{\ast \ast }{F}_x=F_{Tx}\in Y^{\ast \ast }$ . 因此 $T^{\ast \ast }:Y^{\ast \ast }\to X^{\ast \ast }$ 是 $T$ 的一个延拓.

在希尔伯特空间 $H$ 中,伴随算子也可以通过标量积来引入: $\left(Tx,y\right)=\left(x,T^{\ast }y\right)$ , $x,y\in H$ . 这是基于里斯表示定理,这里 $H$ 和 $H^{\ast \ast }$ 的等同意味着 ${\left(\lambda T\right)}^{\ast }=$ $\overline{\lambda }{T}^{\ast },I^{\ast }=I$ ,并且 $T^{\ast \ast }=T$ . 如果 $T$ 是双射,则 $T^{\ast }$ 也是双射,并且还有 ${\left(T^{\ast }\right)}^{-1}={\left(T^{-1}\right)}^{\ast }$ . 对于 $T$ 和 $T^{\ast }$ 的预解式,有

$$\begin{array}{}\text{(12.179)}& {\left[R_{\lambda }\left(T\right)\right]}^{\ast }=R_{\overline{\lambda }}\left(T^{\ast }\right),\end{array}$$

由此可得伴随算子 $T^{\ast }$ 的谱是 $\sigma \left(T^{\ast }\right)=\{\overline{\lambda }:\lambda \in \sigma \left(T\right)\}$ .

$◼\mathbf{A}$: 设 $T$ 是空间 $L^p\left(\left[a,b\right]\right)\left(1<p<\mathrm{\infty }\right)$ 中的积分算子:

$$\begin{array}{}\text{(12.180)}& \left(Tx\right)\left(s\right)={\int }_a^{b}K\left(s,t\right)x\left(t\right)\mathrm{d}t,\end{array}$$

其中 $K\left(s,t\right)$ 是连续核. $T$ 的伴随算子也是一个积分算子,即

$$\begin{array}{}\text{(12.181)}& \left(T^{\ast }g\right)\left(t\right)={\int }_a^b{K}^{\ast }\left(t,s\right)y_g\left(s\right)\mathrm{d}s,\end{array}$$

其中核 $K^{\ast }\left(s,t\right)=K\left(t,s\right)$ ,而 $y_g$ 是根据 (12.167) 与 $g\in {\left(L^p\right)}^{\ast }$ 相关联的 $L^q$ 中的元.

$◼\mathbf{B}$: 在有穷维复向量空间中,由矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)$ 表示的算子的伴随由矩阵 $A^{\ast }=$ $\left(a_{ij}^{\ast }\right)$ 确定,其中 $a_{ij}^{\ast }=\overline{a_{ji}}$ .