2.8.2 约化为主值

当 $k=0$ 时,在弧函数的定义域中有所谓的主值,通常用不含指标的记号表示, 如 $\arcsin x\equiv {\mathrm{arc}}_0\sin x$ . 图 2.47 给出了反三角函数的主值. 不同反函数的值可以利用主值经如下公式计算:

$$\begin{array}{}\text{(2.141)}& {\mathrm{arc}}_k\sin x=k\pi +{(-1)}^k\arcsin x;\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.142)}& {\mathrm{arc}}_k\cos x=\{\begin{array}{ll}\left(k+1\right)\pi -\arccos x,& k\text{ 为奇数,}\\ k\pi +\arccos x,& k\text{ 为偶数; }\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.143)}& {\mathrm{arc}}_k\tan x=k\pi +\arctan x;\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.144)}& {\mathrm{arc}}_k\cot x=k\pi +\mathrm{arc}\cot x.\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: $\arcsin 0=0,{\mathrm{arc}}_k\sin 0=k\pi$ .

$◼\mathbf{B}$: $\mathrm{arccot}1=\frac{\pi }{4},{\mathrm{arc}}_k\cot 1=\frac{\pi }{4}+k\pi$ .

$◼$ $\mathbf{C}:\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3},{\mathrm{arc}}_k\cos \frac{1}{2}=\{\begin{array}{ll}-\frac{\pi }{3}+\left(k+1\right)\pi ,& k\text{ 为奇数,}\\ \frac{\pi }{3}+k\pi ,& k\text{ 为偶数. }\end{array}$

注 计算器给出的是反三角函数的主值.