16.4.2 误差传播和误差分析

测量数量在最终结果中通常以相关函数形式出现, 称为误差传播. 若误差很小, 则使用略去二阶及更高阶项的误差的泰勒展开式.

16.4.2.1 高斯误差传播定律

1. 问题表述

欲确定由函数 $z=f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_k\right)$ 给出的量 $z$ 的数值和误差,其中 $x_j(j=$ $1,2,\cdots ,k)$ 是独立变量. 由测量值 $n_j$ 得到的均值 ${\overline{x}}_j$ 可视为随机变量 $x_j$ 的实现, 且方差为 ${\sigma }_j^2$ . 问题是: 变量的误差是如何影响函数值 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_k\right)$ 的. 设函数 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_k\right)$ 可微,其变量是随机独立的,但服从具有不同方差 ${\sigma }_j^2$ 的任意分布.

2. 泰勒展开

由于误差表示独立变量相对较小的变化,函数 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_k\right)$ 大约可由均值 ${\overline{x}}_j$ 泰勒展开式的线性部分逼近,展开式的系数为 $a_j$ ,故误差 $\mathrm{\Delta }f$ 是

$$\begin{array}{}\text{(16.216a)}& \mathrm{\Delta }f=f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_k\right)-f\left({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,\cdots ,{\overline{x}}_k\right),\end{array}$$$$\mathrm{\Delta }f\approx \mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\mathrm{d}{x}_2+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_k}\mathrm{d}{x}_k=\sum _{j=1}^k\frac{\partial f}{\partial x_j}\mathrm{d}{x}_j=\sum _{j=1}^k{a}_j\mathrm{d}{x}_j,$$

(16.216b)

其中偏导数 $\partial f/\partial x_j$ 在 $\left({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,\cdots ,{\overline{x}}_k\right)$ 处取得.

函数的方差是

$$\begin{array}{}\text{(16.217)}& \partial f^2=a_1^2{\sigma }_{x_1}^2+a_2^2{\sigma }_{x_2}^2+\cdots +a_k^2{\sigma }_{x_k}^2=\sum _{j=1}^k{a}_j^2{\sigma }_{x_j}^2.\end{array}$$

3. 方差 ${\sigma }_f^2$ 的近似值

由于独立变量 $x_j$ 的方差未知,可用均值的方差近似,均值方差由单个变量的测量值 $x_{jl}\left(l=1,2,\cdots ,n_l\right)$ 确定,公式如下:

$$\begin{array}{}\text{(16.218)}& {\tilde{\sigma }}_{{\overline{x}}_j}^2=\frac{\sum _{l=1}^{n_j}{(x_{jl}-{\overline{x}}_j)}^2}{n_j\left(n_j-1\right)}.\end{array}$$

使用上述数值可得到 ${\sigma }_f^2$ 的近似值:

$$\begin{array}{}\text{(16.219)}& {\tilde{\sigma }}_f^2=\sum _{j=1}^k{a}_j^2{\tilde{\sigma }}_{{\overline{x}}_j}^2.\end{array}$$

公式 (16.219) 称为高斯误差传播定律.

4. 特殊情形

(1) 线性情形 经常出现的情况是: 产生的误差是线性的. 当 $a_j=1$ 时,其误差值之和是

$$\begin{array}{}\text{(16.220)}& {\tilde{\sigma }}_f=\sqrt{{\tilde{\sigma }}_1^2+{\tilde{\sigma }}_2^2+\cdots +{\tilde{\sigma }}_k^2}.\end{array}$$

$◼$ 对于光谱辐射, 当测量探测器通道脉冲响应输出的脉冲长度时, 其误差由三部分组成:

a) 以能量 $E_0$ 穿过光谱仪辐射的统计能量分布,用 ${\tilde{\sigma }}_{\mathrm{Str}}$ 表示.

b) 探测器中的统计干扰过程,用 ${\tilde{\sigma }}_{\text{Det }}$ 表示.

c) 探测器脉冲中,放大器的电子噪声 ${\tilde{\sigma }}_{\mathrm{el}}$ .

脉冲长度的总误差为

$$\begin{array}{}\text{(16.221)}& {\tilde{\sigma }}_f=\sqrt{{\tilde{\sigma }}_{\text{Str }}^2+{\tilde{\sigma }}_{\text{Det }}^2+{\tilde{\sigma }}_{\text{el }}^2}.\end{array}$$

(2) 幂法则 变量 $x_j$ 经常以下述形式出现:

$$\begin{array}{}\text{(16.222)}& z=f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_k\right)=a{x}_1^{b_1}\cdot x_2^{b_2}\cdots \cdots x_k^{b_k}.\end{array}$$

取对数差分, 相对误差为

$$\begin{array}{}\text{(16.223)}& \frac{\mathrm{d}f}{f}=b_1\frac{\mathrm{d}{x}_1}{x_1}+b_2\frac{\mathrm{d}{x}_2}{x_2}+\cdots +b_k\frac{\mathrm{d}{x}_k}{x_k},\end{array}$$

由此得到均值相对误差的误差传播定律为

$$\begin{array}{}\text{(16.224)}& \frac{{\tilde{\sigma }}_f}{f}=\sqrt{\sum _{j=1}^k{\left(b_j\frac{{\tilde{\sigma }}_{{\overline{x}}_j}}{{\overline{x}}_j}\right)}^2}.\end{array}$$

• 假设函数 $f\left(x_1,x_2,x_3\right)$ 具有形式 $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\sqrt{x_1}{x}_2^2{x}_3^3$ ,且标准差是 ${\sigma }_{x_1},{\sigma }_{x_2}$ 和 ${\sigma }_{x_3}$ ,则相对误差是

$$\delta z=\frac{{\tilde{\sigma }}_f}{f}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\frac{{\tilde{\sigma }}_{{\overline{x}}_1}}{{\overline{x}}_1}\right)}^2+{\left(2\frac{{\tilde{\sigma }}_{{\overline{x}}_2}}{{\overline{x}}_2}\right)}^2+{\left(3\frac{{\tilde{\sigma }}_{{\overline{x}}_3}}{{\overline{x}}_3}\right)}^2}.$$

5. 最大误差的差分

规定最大绝对误差或最大相对误差的 (16.207), (16.208) 是指对测量值没作平滑. 为使用误差传播定律 (16.219) 或 (16.222) 确定相对误差或绝对误差, 测量值 $x_j$ 之间的平滑意味着对于之前的给定水平,确定一个置信区间. 该过程在第 1112 页 16.4.1.4 中给出.

16.4.2.2 误差分析

在计算函数 $\phi \left(x_i\right)$ 的误差传播时,忽略高阶项后的一般性分析称为误差分析. 在误差分析的理论框架中,可使用输入误差 $\mathrm{\Delta }{x}_i$ 如何影响 $\phi \left(x_i\right)$ 值的算法进行研究. 由此而论, 也可以讨论微分误差分析.

在计算数学中, 误差分析指研究方法误差、舍入误差、输入误差对最终结果的影响 (参见 [19.31], [19.35]).

(聂淑媛 译)