2.3.4 $n$ 次多项式

$n$ 次整有理函数

$$\begin{array}{}\text{(2.43)}& y=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0\end{array}$$

定义一抛物型 $n$ 次或 $n$ 阶曲线(参见第 261 页 3.5.2.5)(图 2.14).

情形 1, $n$ 为奇数 当 $a_n>0$ 时, $y$ 的值从 $-\mathrm{\infty }$ 到 $+\mathrm{\infty }$ 连续变化,当 $a_n<0$ 时, $y$ 的值从 $+\mathrm{\infty }$ 到 $-\mathrm{\infty }$ 连续变化. 曲线可以与 $x$ 轴相交或相切至 $n$ 次,且至少有一个交点 ( $n$ 次方程的解参见第 56 页 1.6.3.1 和第 1237 页 19.1.2). 函数 (2.43) 的极值可能为 0 个或者不超过 $n-1$ 的偶数个,并且极大值和极小值交错出现; 拐点的个数为介于 1 和 $n-2$ 之间的奇数个; 不存在渐近线或奇点.

情形 2, $n$ 为偶数 当 $a_n>0$ 时, $y$ 的值从 $+\mathrm{\infty }$ 达到极小值再变到 $+\mathrm{\infty }$ ,当 $a_n<0$ 时, $y$ 的值从 $-\mathrm{\infty }$ 达到极大值再变到 $-\mathrm{\infty }$ . 曲线可以与 $x$ 轴相交或相切至 $n$ 次,但也可能一直不相交或相切. 极值的个数为奇数且极大值和极小值交错出现; 拐点的个数为偶数或 0 ; 不存在渐近线或奇点.

在画函数图像之前, 首先应确定极值点、拐点以及这些点的一阶导数, 再画出这些点的切线, 最后连续地连接这些点.