2.1.2 实函数的定义方法

2.1.2.1 函数的定义

函数可以按不同方式来定义, 如值表、图示 (曲线)、公式 (解析表达式), 或不同公式构成的分段函数. 其中的自变量只有在属于解析表达式的定义域时, 函数才有意义, 即函数取得唯一有限实值. 当没有给出定义域时, 认为定义域为使得该函数有意义的最大集合.

2.1.2.2 函数的解析表示

通常采用如下三种形式:

1. 显形式

$$\begin{array}{}\text{(2.4)}& y=f\left(x\right).\end{array}$$

$◼y=\sqrt{1-x^2},-1\le x\le 1,y\ge 0$ . 其图像为以原点为圆心的单位圆的上半部分.

2. 隐形式

$$\begin{array}{}\text{(2.5)}& F\left(x,y\right)=0.\end{array}$$

此时对每个 $x$ 存在满足该方程的唯一一个 $y$ ,也可以看出哪些解是函数值.

$◼$ $x^2+y^2-1=0,-1\le x\le +1,y\ge 0$ . 该图像仍为以原点为圆心的单位圆的上半部分,要注意 $x^2+y^2-1=0$ 本身并没有定义一个实函数.

3. 参数形式

$$\begin{array}{}\text{(2.6)}& x=\phi \left(t\right),y=\psi \left(t\right).\end{array}$$

$x,y$ 是辅助变量即参数 $t$ 的函数,并根据 $t$ 取得相应的数值. 函数 $\phi \left(t\right)$ 和 $\psi \left(t\right)$ 的定义域必相同,且只有当 $x=\phi \left(t\right)$ 是 $t$ 与 $x$ 的一一对应时,该表达式才定义一个实函数.

$x=\phi \left(t\right),y=\psi \left(t\right)$ ,其中 $\phi \left(t\right)=\cos t,\psi \left(t\right)=\sin t,0\le t\le \pi$ . 该图像仍为以原点为圆心的单位圆的上半部分.

注 参数形式的函数有时并不能表示为不含参数的显方程或隐方程.

$x=t+2\sin t=\phi \left(t\right),y=t-\cos t=\psi \left(t\right).$

分段函数举例:

$◼\mathbf{A}$: 当 $n\le x<n+1$ 且 $n$ 为整数时,

$$y=E\left(x\right)=\mathrm{int}\left(x\right)=\left[x\right]=n.$$

函数 $E\left(x\right)$ 或 $\mathrm{int}\left(x\right)$ (读作 “ $x$ 的整部”) 表示小于等于 $x$ 的最大整数 (图 2.1(a)). 图 2.1 (a), (b) 是相应的图示, 其中空心圆表示终点不在曲线上.

$◼\mathbf{B}$: 函数 $y=\mathrm{frac}\left(x\right)=x-\left[x\right]$ (读作 “ $x$ 的小数部分”) 表示 $x$ 与 $\left[x\right]$ 的差 (图 2.1 (b)).

$◼\mathbf{C}$: $y=\{\begin{array}{cc}x,& x\le 0,\\ x^2,& x\ge 0\end{array}$ (图 2.2(a)).

$◼\mathbf{D}$: $y=\mathrm{sign}\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}-1,& x<0,\\ 0,& x=0,\\ +1,& x>0\end{array}$ (图 2.2 (b)), $\mathrm{sign}\left(x\right)$ (读作 " $x$ 的符号") 为符

号函数.