1.1.7 有理式

1.1.7.1 化成最简形式

任一有理式可记为两个互素多项式之商的形式, 只需进行基本变换, 如多项式和分式的加、减、乘、除, 以及分式化简, 即可做到这一点.

求 $\frac{3 x + \frac{2 x + y}{z}}{x (x^{2} + \frac{1}{z^{2}})} - y^{2} + \frac{x + z}{z}$ 的最简形式:

\frac{(3 x z + 2 x + y) z^{2}}{(x^{3} z^{2} + x) z} + \frac{- y^{2} z + x + z}{z}

= \frac{3 x z^{3} + 2 x z^{2} + y z^{2} + (x^{3} z^{2} + x) (- y^{2} z + x + z)}{x^{3} z^{3} + x z}

= \frac{3 x z^{3} + 2 x z^{2} + y z^{2} - x^{3} y^{2} z^{3} - x y^{2} z + x^{4} z^{2} + x^{2} + x^{3} z^{3} + x z}{x^{3} z^{3} + x z} .

1.1.7.2 求整有理部分

有同一变量 $x$ 的两个多项式之商,若分子的次数低于分母的次数,则称为真分式, 反之, 则称为假分式. 通过分子除以分母, 任何假分式都可以分解成真分式与多项式之和, 即分离出整有理部分.

$◼$ 求 $R (x) = \frac{3 x^{4} - 10 a x^{3} + 22 a^{2} x^{2} - 24 a^{3} x + 10 a^{4}}{x^{2} - 2 a x + 3 a^{2}}$ 的整有理部分:

(3 x^{4} - 10 a x^{3} + 22 a^{2} x^{2} - 24 a^{3} x + 10 a^{4}) : (x^{2} - 2 a x + 3 a^{2}) = 3 x^{2} - 4 a x + 5 a^{2} +

- 2 a^{3} x - 5 a^{4}

x^{2} - 2 a x + 3 a^{2}^{1}

3 x^{4} - 6 a x^{3} + 9 a^{2} x^{2}

- 4 a x^{3} + 13 a^{2} x^{2} - 24 a^{3} x

- 4 a x^{3} + 8 a^{2} x^{2} - 12 a^{3} x

5 a^{2} x^{2} - 12 a^{3} x + 10 a^{4}

5 a^{2} x^{2} - 10 a^{3} x + 15 a^{4}

- 2 a^{3} x - 5 a^{4} .

R (x) = 3 x^{2} - 4 a x + 5 a^{2} + \frac{- 2 a^{3} x - 5 a^{4}}{x^{2} - 2 a x + 3 a^{2}} .

由于当 $| x |$ 较大时,真分式部分的值趋向于 0,故把有理函数 $R (x)$ 的整有理部分视为 $R (x)$ 的渐近逼近, $R (x)$ 主要为其多项式部分.

1.1.7.3 部分分式的分解

任何分子、分母为互素多项式的真有理分式

\begin{matrix} (1.43) & R (x) = \frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}}{b_{m} x^{m} + b_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0}} (n < m) \end{matrix}

可唯一地分解成最简分式之和. 系数 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}, b_{0}, b_{1}, \dots, b_{m}^{①}$ 是实数或复数. 最简分式形如

\begin{matrix} (1.44a) & \frac{A}{{(x - α)}^{k}} \end{matrix}

① 原文中最后一个分式的分母为 $x^{2} - 2 a x - 3 a^{2}$ ,译者认为,应订正为 $x^{2} - 2 a x + 3 a^{2}$ . —— 译者注

和

\begin{matrix} (1.44b) & \frac{D x + E}{{(x^{2} + p x + q)}^{m}},其中 {(\frac{p}{2})}^{2} - q < 0 . \end{matrix}

设 (1.43) 式中的 $R (x)$ 为实系数.

首先,通过把 (1.43) 式的分子、分母同除以初始值 $b_{m}$ ,转化分母 $Q (x)$ 的首项系数 $b_{m}$ 为 1 .

在实系数情形下, 要区分下述三种情况:

当 $R (x)$ 为复系数时,由于复多项式可因式分解为一次多项式之积,故只有前两种情况出现. 任何真有理分式 $R (x)$ 可展开成 (1.44a) 式中分式之和的形式,其中 $A$ 和 $α$ 是复数.

1. 部分分式的分解 (第一种情况)

分母 $Q (x)$ 有 $m$ 个不同的单根 $α_{0}, α_{1}, \dots, α_{m}$ ,则展开式形如

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}}{(x - α_{1}) (x - α_{2}) \dots (x - α_{m})} = \frac{A_{1}}{x - α_{1}} + \frac{A_{2}}{x - α_{2}} + \dots + \frac{A_{m}}{x - α_{m}},

(1.45a)

系数为

\begin{matrix} (1.45b) & A_{1} = \frac{P (α_{1})}{Q^{'} (α_{1})}, A_{2} = \frac{P (α_{2})}{Q^{'} (α_{2})}, \dots, A_{m} = \frac{P (α_{m})}{Q^{'} (α_{m})}, \end{matrix}

其中,当 $x = α_{1}, x = α_{2}, \dots$ 时,(1.45b) 式的分母是导数 $\frac{d Q}{d x}$ 的值.

◼ \frac{6 x^{2} - x + 1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}, α_{1} = 0, α_{2} = + 1, α_{3} = - 1;

P (x) = 6 x^{2} - x + 1, Q^{'} (x) = 3 x^{2} - 1, A = \frac{P (0)}{Q^{'} (0)} = - 1, B = \frac{P (1)}{Q^{'} (1)} = 3,

C = \frac{P (- 1)}{Q^{'} (- 1)} = 4, \frac{P (x)}{Q (x)} = - \frac{1}{x} + \frac{3}{x - 1} + \frac{4}{x + 1} .

另一种求系数 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ 的可行方法是比较系数法 (参见第 20 页4).

2. 部分分式的分解 (第二种情况)

分母 $Q (x)$ 有 $l$ 个重数分别是 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{l}$ 的实重根 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{l}$ ,则分解式形如

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}}{{(x - α_{1})}^{k_{1}} {(x - α_{2})}^{k_{2}} \dots {(x - α_{l})}^{k_{l}}}

= \frac{A_{1}}{x - α_{1}} + \frac{A_{2}}{{(x - α_{1})}^{2}} + \dots + \frac{A_{k_{1}}}{{(x - α_{1})}^{k_{1}}}

\begin{matrix} (1.46) & + \frac{B_{1}}{x - α_{2}} + \frac{B_{2}}{{(x - α_{2})}^{2}} + \dots + \frac{B_{k_{2}}}{{(x - α_{2})}^{k_{2}}} + \dots + \frac{L_{k_{l}}}{{(x - α_{l})}^{k_{l}}} . \end{matrix}

① 原文中为 $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{n}$ ,译者认为,应订正为 $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{m}$ . 一译者注

$\frac{x + 1}{x {(x - 1)}^{3}} = \frac{A_{1}}{x} + \frac{B_{1}}{x - 1} + \frac{B_{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B_{3}}{{(x - 1)}^{3}}$ . 可通过比较系数法求出系数 $A_{1}, B_{1}, B_{2}, B_{3}$ .

3. 部分分式的分解 (第三种情况)

若分母 $Q (x)$ 也有复根,则根据第 57 页的 (1.168) 式,其分解式为

Q (x) = {(x - α_{1})}^{k_{1}} {(x - α_{2})}^{k_{2}} \dots {(x - α_{l})}^{k_{l}} {(x^{2} + p_{1} x + q_{1})}^{m_{1}}

\begin{matrix} (1.47) & \cdot {(x^{2} + p_{2} x + q_{2})}^{m_{2}} \dots {(x^{2} + p_{r} x + q_{r})}^{m_{r}^{(1)}}, \end{matrix}

其中, $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{l}$ 是多项式 $Q (x)$ 的 $l$ 个实根. 除此之外, $Q (x)$ 还有 $r$ 对共轭复根,它们是二次因式 $x^{2} + p_{i} x + q_{i} {(i = 1, 2, \dots, r)}^{(2)}$ 的根. $p_{i}, q_{i}$ 是实数,且 ${(\frac{p_{i}}{2})}^{2} - q_{i} < 0$ 成立. 此时,最简分式形如

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}}{{(x - α_{1})}^{k_{1}} {(x - α_{2})}^{k_{2}} \dots {(x^{2} + p_{1} x + q_{1})}^{m_{1}} {(x^{2} + p_{2} x + q_{2})}^{m_{2}} \dots}

= \frac{A_{1}}{x - α_{1}} + \frac{A_{2}}{{(x - α_{1})}^{2}} + \dots + \frac{A_{k_{1}}}{{(x - α_{1})}^{k_{1}}}

+ \frac{B_{1}}{x - α_{2}} + \frac{B_{2}}{{(x - α_{2})}^{2}} + \dots + \frac{B_{k_{2}}}{{(x - α_{2})}^{k_{2}}} + \dots

+ \frac{C_{1} x + D_{1}}{x^{2} + p_{1} x + q_{1}} + \frac{C_{2} x + D_{2}}{{(x^{2} + p_{1} x + q_{1})}^{2}} + \dots + \frac{C_{m_{1}} x + D_{m_{1}}}{{(x^{2} + p_{1} x + q_{1})}^{m_{1}}}

+ \frac{E_{1} x + F_{1}}{x^{2} + p_{2} x + q_{2}} + \frac{E_{2} x + F_{2}}{{(x^{2} + p_{2} x + q_{2})}^{2}}

\begin{matrix} (1.48) & + \dots + \frac{E_{m_{2}} x + F_{m_{2}}}{{(x^{2} + p_{2} x + q_{2})}^{m_{2}}} + \dots . \end{matrix}

$\frac{5 x^{2} - 4 x + 16}{(x - 3) {(x^{2} - x + 1)}^{2}} = \frac{A}{x - 3} + \frac{C_{1} x + D_{1}}{x^{2} - x + 1} + \frac{C_{2} x + D_{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ . 可通过比较系数法求出系数 $A, C_{1}, D_{1}, C_{2}, D_{2}$ .

4. 比较系数法

由于 $Z (x) \equiv P (x)$ ,为求出 (1.48) 式的系数 $A_{1}, A_{2}, \dots, E_{1}, F_{1}, \dots$ ,用 $Q (x)$ 乘以 (1.48) 式,之后把所得结果 $Z (x)$ 和 $P (x)$ 进行比较. 由于 $Z (x) \equiv P (x)$ ,把 $Z (x)$ 按 $x$ 的幂次排列后,通过比较 $Z (x)$ 和 $P (x)$ 中对应 $x$ 次幂的系数,可得方程组. 这种方法称为比较系数法或待定系数法.

① 原文中第二个因式为 ${(x^{2} + 2 p_{2} x + q_{2})}^{m_{2}}$ ,译者认为,应订正为 ${(x^{2} + p_{2} x + q_{2})}^{m_{2}}$ . 译者注

② 原文中该因式为 $x^{2} - p_{i} x + q_{i}$ ,译者认为,应订正为 $x^{2} + p_{i} x + q_{i}$ . - 译者注

$◼ \frac{6 x^{2} - x + 1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1} = \frac{A (x^{2} - 1) + B x (x + 1) + C x (x - 1)}{x (x^{2} - 1)} .$

比较 $x$ 同次幂的系数,可得方程组 $6 = A + B + C, - 1 = B - C, 1 = - A$ ,其解为 $A = - 1, B = 3, C = 4$ .

1.1.7.4 比例变换

由等式

\begin{matrix} (1.49a) & \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{matrix}

可得

\begin{matrix} (1.49b) & a d = b c, \frac{a}{c} = \frac{b}{d}, \frac{d}{b} = \frac{c}{a}, \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \end{matrix}

且.

\begin{matrix} (1.49c) & \frac{a \pm b}{b} = \frac{c \pm d}{d}, \frac{a \pm b}{a} = \frac{c \pm d}{c}, \frac{a \pm c}{c} = \frac{b \pm d}{d}, \frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d} . \end{matrix}

由比例式

\begin{matrix} (1.50a) & \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \dots = \frac{a_{n}}{b_{n}} \end{matrix}

可推出

\begin{matrix} (1.50b) & \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}} = \frac{a_{1}}{b_{1}} . \end{matrix}

1.1.7 有理式 ​

1.1.7.1 化成最简形式 ​

1.1.7.2 求整有理部分 ​

1.1.7.3 部分分式的分解 ​

1. 部分分式的分解 (第一种情况) ​

2. 部分分式的分解 (第二种情况) ​

3. 部分分式的分解 (第三种情况) ​

4. 比较系数法 ​

1.1.7.4 比例变换 ​