7.4.2 对称函数系数的确定

7.4.2.1 各种类型的对称

1. 第一类对称

若周期为 $T$ 的周期函数 $f\left(x\right)$ 为偶函数,即 $f\left(x\right)=f\left(-x\right)$ (图 7.2),则其傅里叶系数为

$$\begin{array}{}\text{(7.107)}& a_k=\frac{4}{T}{\int }_0^{T/2}f\left(x\right)\cos k\frac{2\pi x}{T}\mathrm{d}x,b_k=0\left(k=0,1,2,\cdots \right).\end{array}$$

2. 第二类对称

若周期为 $T$ 的周期函数 $f\left(x\right)$ 为奇函数,即 $f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$ (图 7.3),则其傅里叶系数为

$$\begin{array}{}\text{(7.108)}& a_k=0,b_k=\frac{4}{T}{\int }_0^{T/2}f\left(x\right)\sin k\frac{2\pi x}{T}\mathrm{d}x\left(k=0,1,2,\cdots \right).\end{array}$$

3. 第三类对称

若周期为 $T$ 的周期函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left(x+T/2\right)=-f\left(x\right)$ (图 7.4),则其傅里叶系数为

$$\begin{array}{}\text{(7.109a)}& a_{2k+1}=\frac{4}{T}{\int }_0^{T/2}f\left(x\right)\cos \left(2k+1\right)\frac{2\pi x}{T}\mathrm{d}x,a_{2k}=0,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.109b)}& b_{2k+1}=\frac{4}{T}{\int }_0^{T/2}f\left(x\right)\sin \left(2k+1\right)\frac{2\pi x}{T}\mathrm{d}x,b_{2k}=0\left(k=0,1,2,\cdots \right).\end{array}$$

4. 第四类对称

若周期为 $T$ 的周期函数 $f\left(x\right)$ 为奇函数,且满足第三类对称 (图 7.5(a)),则其傅里叶系数

$$a_k=b_{2k}=0,b_{2k+1}=\frac{8}{T}{\int }_0^{T/4}f\left(x\right)\sin \left(2k+1\right)\frac{2\pi x}{T}\mathrm{d}x\left(k=0,1,2,\cdots \right).$$

(7.110)

若函数 $f\left(x\right)$ 为偶函数,且满足第三类对称 (图 7.5(b)),则其傅里叶系数

$$b_k=a_{2k}=0,a_{2k+1}=\frac{8}{T}{\int }_0^{T/4}f\left(x\right)\cos \left(2k+1\right)\frac{2\pi x}{T}\mathrm{d}x\left(k=0,1,2,\cdots \right).$$

(7.111)

7.4.2.2 傅里叶级数展开形式

在区间 $\left[0,l\right]$ 上满足狄利克雷条件 (参见第 635 页 7.4.1.2,3.) 的每个函数 $f\left(x\right)$ 都可在该区间展成如下形式的收敛级数:

(1) $f_1\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos \frac{2\pi x}{l}+a_2\cos 2\frac{2\pi x}{l}+\cdots +a_n\cos n\frac{2\pi x}{l}+\cdots$

$$\begin{array}{}\text{(7.112a)}& +b_1\sin \frac{2\pi x}{l}+b_2\sin 2\frac{2\pi x}{l}+\cdots +b_n\sin n\frac{2\pi x}{l}+\cdots .\end{array}$$

函数 $f_1\left(x\right)$ 的周期 $T=l$ ; 在区间(0, l)的连续点函数 $f_1\left(x\right)$ 与 $f\left(x\right)$ 相同 (图 7.6), 在间断点 $f_1\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[f\left(x-0\right)+f\left(x+0\right)\right]$ . 当 $w=\frac{2\pi }{l}$ 时,展开式的系数由欧拉公式 (7.102a, 7.102b) 来确定.

(2) $f_2\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos \frac{\pi x}{l}+a_2\cos 2\frac{\pi x}{l}+\cdots +a_n\cos n\frac{\pi x}{l}+\cdots$ .(7.112b)函数 $f_2\left(x\right)$ 的周期 $T=2l$ ; 在区间 $\left[0,l\right]$ 上函数 $f_2\left(x\right)$ 具有第一类对称性,且与函数 $f\left(x\right)$ 相同 (图 7.7), $f_2\left(x\right)$ 的展开式系数可由第一类对称中 $T=2l$ 时满足的公式来确定.

$f_3\left(x\right)=b_1\sin \frac{\pi x}{l}+b_2\sin 2\frac{\pi x}{l}+\cdots +b_n\sin n\frac{\pi x}{l}+\cdots .$ (7.112c)函数 $f_3\left(x\right)$ 的周期 $T=2l$ ; 在区间(0, l)上函数 $f_3\left(x\right)$ 具有第二类对称性,且与函数 $f\left(x\right)$ 相同 (图 7.8), $f_3\left(x\right)$ 的展开式系数可由第二类对称中 $T=2l$ 时满足的公式来确定.