2.2.2 超越函数

超越函数不能由形如 (2.36) 的代数方程得到, 接下来介绍几种最简单的初等超越函数.

2.2.2.1 指数函数

底为常数,指数为变量 $x$ 或 $x$ 的代数函数 (参见第 92 页 2.6.1).

2.2.2.2 对数函数

底数为常数,真数为变量 $x$ 或 $x$ 的代数函数 (参见第 93 页 2.6.2).

$◼\mathbf{A}$: $y=\ln x$ ,

$◼\mathbf{B}$: $y=\lg x$ ,

2.2.2.3 三角函数

关于 $x$ 或 $x$ 的代数函数在符号 $\sin ,\cos ,\tan ,\cot ,\sec ,\csc$ 下的函数 (参见第 97 页 2.7).

$◼\mathbf{A}$: $y=\sin x$ ,

$◼\mathbf{B}$: $y=\cos \left(2x+3\right),$

$◼\mathbf{C}$: $y=\tan \sqrt{x}$ .

一般地, 三角函数的自变量不仅可以是几何定义中的角或圆弧, 也可以是任意量, 即可以不利用几何而从纯分析的角度来定义三角函数, 如用级数展开式表示它们. 另外,像正弦函数,可以将其表示成微分方程 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+y=0$ 的解,其初始值为 $y=0$ 且当 $x=0$ 时 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$ . 三角函数自变量的数值等于单位弧度下的弧长. 在处理三角函数时, 认为自变量是弧度制.

2.2.2.4 反三角函数

反三角函数 (参见第 110 页 2.8)arcsin, $\arccos$ 的自变量为 $x$ 或 $x$ 的代数函数.

$◼\mathbf{A}$: $y=\arcsin x,$

$◼\mathbf{B}$: $y=\arccos \sqrt{1-x}$ .

2.2.2.5 双曲函数

参见第 115 页 2.9.

2.2.2.6 反双曲函数

参见第 120 页 2.10.