14.6.1 与椭圆积分的关系

如果 $P\left(x\right)$ 是一个 3 次或 4 次的多项式,除非在某些特殊情形,则具有被积函数 $R\left(x,\sqrt{P\left(x\right)}\right)$ 的 (8.22) 形的积分不能被积分成闭形式,但是它们作为椭圆积分 (参见第 653 页 8.1.4.3) 可以被数值地计算. 椭圆积分的反函数是椭圆函数 (elliptic functions). 它们类似于三角函数, 并且可以被考虑为三角函数的推广. 作为一个解释, 考虑特殊情形

$$\begin{array}{}\text{(14.100)}& {\int }_0^u{(1-t^2)}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t=x\left(\left|u\right|\le 1\right).\end{array}$$

a) 在三角函数 $u=\sin x$ 与其反函数的主值之间有一个关系

$$\begin{array}{}\text{(14.101)}& u=\sin x\iff x=\arcsin u\text{,当 }-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2},-1\le u\le 1\text{ 时. }\end{array}$$

b) 积分 (14.100) 等于 $\arcsin u$ . 正弦函数可以被视为积分 (14.100) 的反函数. 对于椭圆函数, 类似的事情成立.

质量为 $m$ ,挂在一根长为 $l$ 几乎无重量的非弹性绳索上一个数学摆 (mathematical pendulum) (图 14.54) 的周期可以由一个二阶非线性微分方程来计算. 这个方程由作用在摆的质量上的力的平衡即得

$\frac{{\mathrm{d}}^2\vartheta }{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{g}{l}\sin \vartheta =0$ ,并且 $\vartheta \left(0\right)={\vartheta }_0,\dot{\vartheta }\left(0\right)=0$ 或者 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[{\left(\frac{\mathrm{d}\vartheta }{\mathrm{d}t}\right)}^2\right]=2\frac{g}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\cos \vartheta \right)$ .(14.102a)

长度 $l$ 和离正常位置的振幅 $s$ 之间的关系是 $s=l\vartheta$ ,因而 $\dot{s}=l\dot{\vartheta }$ ,并且 $\ddot{s}=l\ddot{\vartheta }$ . 作用在质量上的力是 $F=mg$ ,其中 $g$ 是重力加速度 (参见第 1368 页表 21.2),这个力被分解为法向分量 $F_N$ 和关于摆的路径的切向分量 $F_T$ (图 14.54). 法向分量 $F_N=mg\cos \vartheta$ 被绳索应力所平衡. 由于它垂直于运动的方向,因此它对于运动方程没有影响. 切向分量 $F_T$ 产生运动的加速度. $F_T=m\ddot{s}=ml\ddot{\vartheta }=-mg\sin \vartheta$ . 它总是指向正常位置的方向. 通过分离变量即得

$$\begin{array}{}\text{(14.102b)}& t-t_0=\sqrt{\frac{l}{g}}{\int }_0^{\vartheta }\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Theta }}{\sqrt{2\left(\cos \mathrm{\Theta }-\cos {\vartheta }_0\right)}}.\end{array}$$

这里, $t_0$ 表示摆首次位于最低位置的时刻,即有 $\vartheta \left(t_0\right)=0.\mathrm{\Theta }$ 表示积分变量. 在一些变换和代换 $\sin \frac{\mathrm{\Theta }}{2}=k\sin \psi ,k=\sin \frac{{\vartheta }_0}{2}$ 之后即得

$$\begin{array}{}\text{(14.102c)}& t-t_0=\sqrt{\frac{l}{g}}{\int }_0^{\phi }\frac{\mathrm{d}\psi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\psi }}=\sqrt{\frac{l}{g}}F\left(k,\phi \right).\end{array}$$

这里 $F\left(k,\phi \right)$ 是第一类的椭圆积分 (参见第 654 页(8.25a)). 偏转角度 $\vartheta =\vartheta \left(t\right)$ 是周期为 $2T$ 的一个周期函数,这里

$$\begin{array}{}\text{(14.102d)}& T=\sqrt{\frac{l}{g}}F\left(k,\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{\frac{l}{g}}K,\end{array}$$

其中 $K$ 表示一个第一类完全椭圆积分 (参见第 1424 页表 21.9). $T$ 表示摆的周期 (period),即,两个相继极端位置 $\left(\text{满足}\frac{\mathrm{d}\vartheta }{\mathrm{d}t}=0\right)$ 之间的时间. 如果振幅小,即 $\sin \vartheta \approx \vartheta$ ,则 $T=2\pi \sqrt{l/g}$ .