12.1.2 线性和放射子集

1. 线性子集

向量空间 $V$ 的一非空子集 $V_0$ 称作 $V$ 的一线性子空间或线性流形,是指对任意两个元 $x,y\in V_0$ 和任意两个标量 $\alpha ,\beta \in \mathbb{F}$ ,其线性组合 $\alpha x+\beta y$ 也在 $V_0$ 中. $V_0$ 本身是一个向量空间,从而也满足公理 $\left(\mathrm{V}1\right)\sim \left(\mathrm{V}8\right)$ . 子空间 $V_0$ 可以是 $V$ 本身,也可以是仅含零元, 这样的子空间称为平凡子空间.

2. 放射子空间

向量空间 $V$ 的子集称作放射子空间或放射流形,是指它有形式

$$\begin{array}{}\text{(12.9)}& \left\{x_0+y\in V_0:y\in V_0\right\},\end{array}$$

其中 $x_0\in V$ 为一给定元,而 $V_0$ 是一线性子空间. 它可以看作 (在 $x_0\ne 0$ 的情形下) 不通过 ${\mathbb{R}}^3$ 中原点的直线或平面的推广.

3. 线性包 (linear hull)

$V$ 中任意多个子空间之交也是一子空间. 因此对于任意非空子集 $E\subset V,V$ 中存在包含 $E$ 的最小子空间 $\mathrm{lin}\left(E\right)$ ,或记作 $\left[E\right]$ ,即所有包含 $E$ 的线性子空间之交. 集合 $\mathrm{lin}\left(E\right)$ 称作集合 $E$ 的线性包,或由集合 $E$ 生成的线性子空间. 它也是元素 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in V$ 和标量 ${\alpha }_1,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in \mathbb{F}$ 的所有有穷线性组合

$$\begin{array}{}\text{(12.10)}& {\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n\end{array}$$

组成的集合.

4. 序列向量空间的例子

$◼\mathbf{A}$: 向量空间 ${\mathbb{F}}^n$ : 设 $n$ 是一给定的自然数, $V$ 是所有 $n$ 数组组成的集合,即所有 $n$ 个标量项构成的有穷序列全体 $\left\{\left({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n\right):{\xi }_i\in \mathbb{F},i=1,2,\cdots ,n\right\}$ . 其中的运算定义成逐个分量或逐项之间的运算,即若 $x=\left({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n\right)$ 和 $y=$ $\left({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n\right)$ 为 $V$ 中任意两个元, $\alpha$ 为任一标量, $\alpha \in \mathbb{F}$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(12.11a)}& x+y=\left({\xi }_1+{\eta }_1,{\xi }_2+{\eta }_2,\cdots ,{\xi }_n+{\eta }_n\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(12.11b)}& \alpha \cdot x=\left(\alpha {\xi }_1,\alpha {\xi }_2,\cdots ,\alpha {\xi }_n\right),\end{array}$$

这样就定义了向量空间 $\mathbb{F}$ . 线性空间 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 则是 $n=1$ 情形下的特例. 这个例子可以两种方式推广 (见例 $\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{C}$ ).

$◼\mathbf{B}$:所有序列的向量空间 $s$ : 考虑 $x={\left\{{\xi }_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 这样的无穷序列,这里 ${\xi }_n\in \mathbb{F}$ ,并类似于 (12.11a) 和 (12.11b) 定义无穷序列中的运算, 就得到由所有这些无穷序列组成的向量空间 $s$ .

$◼\mathbf{C}$:所有有穷序列的向量空间 $\phi ($ 也记作 $c_{00})$ :设 $V$ 是 $s$ 中所有仅含有限个非零分量 (非零分量个数依赖各元而不同) 的元所组成的子集. 这个向量空间 (其中的运算定义与上述相仿) 记作 $\phi$ 或 $c_{00}$ ,称作所有有穷数列的空间.

$◼\mathbf{D}$: 所有有界序列的向量空间 $m$ (也记作 ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ ): 序列 $x={\left\{{\xi }_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in m$ ,当且仅当存在常数 $C_x$ 使得 $\left|{\xi }_n\right|\le C_x,\mathrm{\forall }n=1,2,\cdots$ ,该向量空间也记作 ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ .

$◼\mathbf{E}$: 所有收敛序列的向量空间 $\mathbf{c}$ : 序列 $x={\left\{{\xi }_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in \mathbf{c}$ ,当且仅当存在一数 ${\xi }_0\in \mathbb{F}$ ,使得 $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ ,存在一标号 $n_0$ 满足 $\left|{\xi }_n-{\xi }_0\right|<\epsilon \mathrm{\forall }n>n_0$ (参见第 614 页7.1.2).

$◼\mathbf{F}$:所有零序列空间 $c_0$ :是所有零序列组成的向量空间,即 $c$ 中所有收敛于零 $\left({\xi }_0=0\right)$ 的序列组成的子空间.

$◼\mathbf{G}$:: 向量空间 ${\ell }^p$ : 所有使得 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|{\xi }_n\right|}^p$ 收敛的序列 $x={\left\{{\xi }_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 组成的向量空间记作 ${\ell }^p$ . 利用闵可夫斯基不等式可以证明, ${\ell }^p$ 中两个序列之和还在 ${\ell }^p$ 中 (参见第 41 页 1.4.2.13).

注 对于在 $\mathbf{A}\sim \mathbf{G}$ 中介绍的向量空间,成立如下的包含关系:

$$\begin{array}{}\text{(12.12)}& \phi \subset {\mathbf{c}}_0\subset \mathbf{c}\subset \mathbf{m}\subset \mathbf{s},\phi \subset {\ell }^p\subset {\ell }^q\subset {\mathbf{c}}_0,\text{其中}1\le p<q<\mathrm{\infty }\text{.}\end{array}$$

5. 函数向量空间的例子

$◼\mathbf{A}$: 向量空间 $\mathcal{F}\left(T\right)$ : 设 $V$ 是一给定集 $T$ 上所有实值或复值函数的集合,这里的运算定义为点点运算,即如果 $x\left(t\right)$ 和 $y\left(t\right)$ 为 $V$ 中任意两个元, $\alpha \in \mathbb{F}$ 为任意标量, 则我们定义 $x+y$ 和 $\alpha \cdot x$ 如下:

$$\begin{array}{}\text{(12.13a)}& \left(x+y\right)\left(t\right)=x\left(t\right)+y\left(t\right),\mathrm{\forall }t\in T.\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(12.13b)}& \left(\alpha x\right)\left(t\right)=\alpha \cdot x\left(t\right),\mathrm{\forall }t\in T.\end{array}$$

该向量空间记作 $\mathcal{F}\left(T\right)$ .

$◼\mathbf{B}$: 向量空间 $\mathcal{B}\left(T\right)$ 或 $\mathcal{M}\left(T\right):\mathcal{B}\left(T\right)$ 是 $T$ 上所有有界函数的空间. 该向量空间有时也记作 $\mathcal{M}\left(T\right)$ . 在 $T=\mathbb{N}$ 的情形下,得到空间 $\mathcal{M}\left(T\right)=\mathbf{m}$ ,即上节例 $\mathbf{D}$ 的空间 $m$ .

$◼\mathbf{C}$: 向量空间 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ : 集合 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 是区间 $\left[a,b\right]$ 上所有连续函数全体 (参见第 74 页 2.1.5.1).

$◼\mathbf{D}$: 向量空间 ${\mathcal{C}}^{\left(k\right)}\left(\left[a,b\right]\right)$ : 设 $k\in \mathbb{N},k\ge 1.\left[a,b\right]$ 上所有 $k$ -次连续可微函数的集合 ${\mathcal{C}}^{\left(k\right)}\left(\left[a,b\right]\right)$ (参见第 581 页 6.1) 是一向量空间. 在区间 $\left[a,b\right]$ 的端点 $a$ 和 $b$ ,导数必须分别理解为右导数和左导数.

注 对于本节例 $\mathbf{A}\sim \mathbf{D}$ 中的向量空间,当 $T=\left[a,b\right]$ 时,成立如下的包含关系:

$$\begin{array}{}\text{(12.14)}& {\mathcal{C}}^{\left(k\right)}\left(\left[a,b\right]\right)\subset \mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)\subset \mathcal{B}\left(\left[a,b\right]\right)\subset \mathcal{F}\left(\left[a,b\right]\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{E}$: $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 的向量子空间: 对于任意给定的点 $t_0\in \left[a,b\right]$ ,集合 $\{x\in \mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ : $x\left(t_0\right)=0\}$ 构成 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 的一线性子空间.