1.4.1 纯不等式

1.4.1.1 定义

1. 不等式

不等式是对两个实代数式的比较, 用下述符号之一表示:

类型 I > (“大于”) 类型II $<$ (“小于”)

类型III $\ne$ ("不等于") 类型III a $<>$ ("大于或小于")

类型IV $\ge$ (“大于或等于”) 类型IV a $\nless$ (“不小于”)

类型 $\mathrm{V}\le$ ("小于或等于") 类型 $\mathrm{Va}\ngtr$ (“不大于”)

符号III和III a, IV和IV a, V和V a 含义相同, 故它们可互相代替. 符号III也可以用于 “大于” 或 “小于” 无法定义的那类量, 比如复数或向量, 但在这种情况下, 不能用III a 代替.

2. 恒等不等式, 同向不等式和反向不等式, 等价不等式

(1)恒等不等式指式子中字母取任意值时都成立的不等式.

(2) 同向不等式属于前两个中的同一类型, 即都属于类型 I 或都属于类型 II.

(3) 反向不等式属于前两个中的不同类型, 即一个属于类型 I, 另一个属于类型 II.

(4) 等价不等式指包含在式子中的未知数取相同值时, 完全成立的不等式.

3. 不等式的解

与等式相似, 不等式也包含未知数, 通常用字母表中的最后几个字母表示. 不等式的解或不等式组的解指使得不等式或不等式组成立的未知数的变化范围.

任何类型的不等式都可求解, 大多数情况下, 都是求解类型 I 和类型 II 的纯不等式.

1.4.1.2 类型 I 和类型 II 不等式的性质

1. 改变不等号的方向

若 $a>b$ 成立,则 $b<a$ 成立;(1.97a)

若 $a<b$ 成立,则 $b>a$ 成立.(1.97b)

2. 传递性

若 $a>b$ 和 $b>c$ 成立,则 $a>c$ 成立;(1.98a)

若 $a<b$ 和 $b<c$ 成立,则 $a<c$ 成立.(1.98b)

3. 加减同一个量

若 $a>b$ 成立,则 $a\pm c>b\pm c$ 成立;(1.99a)

若 $a<b$ 成立,则 $a\pm c<b\pm c$ 成立.(1.99b)

不等式两边同时加上或减去相同的量, 不等号的方向不变.

4. 不等式的加法

若 $a>b$ 和 $c>d$ 成立,则 $a+c>b+d$ 成立;(1.100a)

若 $a<b$ 和 $c<d$ 成立,则 $a+c<b+d$ 成立.(1.100b)

两个同向不等式可以相加.

5. 不等式的减法

若 $a>b$ 和 $c<d$ 成立,则 $a-c>b-d$ 成立;(1.101a)

若 $a<b$ 和 $c>d$ 成立,则 $a-c<b-d$ 成立.(1.101b)

反向不等式可以相减, 结果与第一个不等式的方向一致. 同向不等式不能相减.

6. 不等式乘以和除以同一个量

若 $a>b$ 和 $c>0$ 成立,则 $ac>bc$ 和 $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$ 成立;(1.102a)

若 $a<b$ 和 $c>0$ 成立,则 $ac<bc$ 和 $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$ 成立;(1.102b)

若 $a>b$ 和 $c<0$ 成立,则 $ac<bc$ 和 $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$ 成立;(1.102c)

若 $a<b$ 和 $c<0$ 成立,则 $ac>bc$ 和 $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$ 成立.(1.102d)

不等式的两边同时乘以或除以一个正数, 不等号的方向不变. 同时乘以或除以一个负数, 不等号的方向改变.

7. 不等式和倒数

$$\begin{array}{}\text{(1.103)}& \text{若}0<a<b\text{或}a<b<0\text{成立,则}\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\text{成立.}\end{array}$$