1.1.8 无理式

任何无理式都可通过下述方式化为更简洁的形式:① 化简指数；② 把项从根号中开出来; ③ 分母有理化.

(1)化简指数 若被开方式可因式分解, 且根式的指数和被开方式的指数有公共因子, 就可以化简指数; 根式的指数和被开方式的指数须除以其最大公约数.

$◼\sqrt[6]{16\left(x^{12}-2x^{11}+x^{10}\right)}=\sqrt[6]{4^2\cdot x^{5\cdot 2}{(x-1)}^2}=\sqrt[3]{4x^5\left(x-1\right)}$ .

(2)移动无理式 有多种方式可移动无理式到分子上.

$◼\mathbf{A}:\sqrt{\frac{x}{2y}}=\sqrt{\frac{2xy}{4y^2}}=\frac{\sqrt{2xy}}{2y}$ .

$◼\mathbf{B}:\sqrt[3]{\frac{x}{4y{z}^2}}=\sqrt[3]{\frac{2x{y}^{2}z}{8y^3{z}^3}}=\frac{\sqrt[3]{2x{y}^{2}z}}{2yz}$ .

$◼\mathbf{C}:\frac{1}{x+\sqrt{y}}=\frac{x-\sqrt{y}}{\left(x+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{y}\right)}=\frac{x-\sqrt{y}}{x^2-y}$ .

$◼\mathbf{D}:\frac{1}{x+\sqrt[3]{y}}=\frac{x^2-x\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{y^2}}{\left(x+\sqrt[3]{y}\right)\left(x^2-x\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{y^2}\right)}=\frac{x^2-x\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{y^2}}{x^3+y}$ .

(3) 幂和根式的最简形式 幂和根式也可以化为最简形式.

$$\text{A:}\sqrt[4]{\frac{81x^6}{{(\sqrt{2}-\sqrt{x})}^4}}=\sqrt{\frac{9x^3}{{(\sqrt{2}-\sqrt{x})}^2}}=\frac{3x\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}=\frac{3x\sqrt{x}\left(\sqrt{2}+\sqrt{x}\right)}{2-x}$$$$=\frac{3x\sqrt{2x}+3x^2}{2-x}.$$$$\text{B:}\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[12]{x^7}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}-\sqrt[12]{x^5}\right)$$$$=\left(x^{1/2}+x^{2/3}+x^{3/4}+x^{7/12}\right)\left(x^{1/2}-x^{1/3}+x^{1/4}-x^{5/12}\right)$$$$=x+x^{7/6}+x^{5/4}+x^{13/12}-x^{5/6}-x-x^{13/12}-x^{11/12}+x^{3/4}$$$$+x^{11/12}+x+x^{5/6}-x^{11/12}-x^{13/12}-x^{7/6}-x$$$$=x^{5/4}-x^{13/12}-x^{11/12}+x^{3/4}=\sqrt[4]{x^5}-\sqrt[12]{x^{13}}-\sqrt[12]{x^{11}}+\sqrt[4]{x^3}$$$$=x^{3/4}\left(1-x^{1/6}-x^{1/3}+x^{1/2}\right)=\sqrt[4]{x^3}\left(1-\sqrt[6]{x}-\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}\right).$$