5.3.4 群表示

5.3.4.1 定义

1. 表示

群 $G$ 的表示 $D\left(G\right)$ 是 $G$ 到 $n$ 维 (实或复) 向量空间 $V_n$ 上非奇异线性变换 $D$ 的群上的一个映射 (同态):

$$\begin{array}{}\text{(5.93)}& D\left(G\right):a\to D\left(a\right),a\in G.\end{array}$$

向量空间 $V_n$ 称为表示空间; $n$ 是表示的维数 (还可参见第 859 页 12.1.3,2.). 若在 $V_n$ 中引进基 $\left\{{\underset{―}{e}}_i\right\}\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ ,则每个向量 $\underset{―}{x}$ 可以写成基向量的线性组合:

$$\begin{array}{}\text{(5.94)}& \underset{―}{\mathbf{x}}=\sum _{i=1}^n{x}_i{\underset{―}{\mathbf{e}}}_i,\underset{―}{\mathbf{x}}\in V_n.\end{array}$$

线性变换 $D\left(a\right),a\in G$ 在 $\underset{―}{x}$ 上的作用可以用方阵 $\mathbf{D}\left(a\right)=\left(D_{ik}\left(a\right)\right)(i,k=1,2,\cdots$ , $n)$ 定义,它给出变换得到的向量 ${\underset{―}{\mathbf{x}}}^{\prime }$ 在基 $\left\{{\underset{―}{\mathbf{e}}}_i\right\}$ 下的坐标:

$$\begin{array}{}\text{(5.95)}& {\underset{―}{\mathbf{x}}}^{\prime }=\mathbf{D}\left(a\right)\underset{―}{\mathbf{x}}=\sum _{i=1}^n{x}_i^{\prime }{\underset{―}{\mathbf{e}}}_i,x_i^{\prime }=\sum _{k=1}^n{D}_{ik}\left(a\right)x_k.\end{array}$$

这个变换也可以看作基的变换 $\left\{{\underset{―}{e}}_i\right\}\to \left\{{\underset{―}{e}}_i^{\prime }\right\}$ :

$$\begin{array}{}\text{(5.96)}& {\underset{―}{\mathbf{e}}}_i^{\prime }={\underset{―}{\mathbf{e}}}_i\mathbf{D}\left(a\right)=\sum _{k=1}^n{D}_{ki}\left(a\right){\underset{―}{\mathbf{e}}}_k.\end{array}$$

于是群的每个元素被指派一个表示矩阵 $\mathbf{D}=\left(D_{ik}\left(a\right)\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(5.97)}& D\left(G\right):a\to \mathbf{D}=\left(D_{ik}\left(a\right)\right)\left(i,k=1,2,\cdots ,n\right),a\in G.\end{array}$$

表示矩阵与基的选取有关.

$◼\mathbf{A}$: 阿贝尔点群 $C_n$ 一个有 $n$ 条边的正多边形 (参见第 181 页 3.1.5) 具有对称性,使得它绕垂直于图形平面且通过它的中心 $M$ 的轴 (图 5.9) 旋转角度 ${\phi }_k=2\pi k/n,k=0,1,\cdots ,n-1$ 后所得到的多边形恒同于原多边形 (在某些旋转下的系统不变性). 旋转 $R_k\left({\phi }_k\right)$ 形成点 $C_n$ 的阿贝尔群. $C_n$ 是一个循环群 (参见第 452 页 5.3.3.2),即这个群的每个元素可以表示为单个元素 $R_1$ (其 $n$ 次幂是单位元素 $e=R_0)$ 的幂:

$$\begin{array}{}\text{(5.98a)}& C_n=\left\{e,R_1,R_1^2,\cdots ,R_1^{n-1}\right\},R_1^n=e.\end{array}$$

设等边三角形 $\left(n=3\right)$ 的中心是原点 (图 5.9),那么依据 (5.98b) 旋转角和旋转是

$$k=0,{\phi }_0=0\text{或}2\pi \text{,}$$$$\begin{array}{}\text{(5.98b)}& k=1,{\phi }_1=2\pi /3,\end{array}$$$$k=2,{\phi }_2=4\pi /3.$$$$R_0:A\to A,B\to B,C\to C,$$$$\begin{array}{}\text{(5.98c)}& R_1:A\to B,B\to C,C\to A,\end{array}$$$$R_3:A\to C,B\to A,C\to B.$$

旋转(5.98c)满足关系式

$$\begin{array}{}\text{(5.98d)}& R_2=R_1^2,R_1\cdot R_2=R_1^3=R_0=e.\end{array}$$

它们形成循环群 $C_3$ .

如果 $\phi$ 代以 (5.98b) 中给出的角度,这个三角形的几何变换 (对于这个图形在固定坐标系中的旋转, 参见第 285 页 3.5.3.3, 3.) 的旋转矩阵 (见第 308 页 (3.432))

$$\begin{array}{}\text{(5.98e)}& \mathbf{R}\left(\phi \right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)\end{array}$$

给出群 $C_3$ 的表示:

$$\begin{array}{}\text{(5.98f)}& \mathbf{D}\left(e\right)=\mathbf{R}\left(0\right)=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\mathbf{D}\left(R_1\right)=\mathbf{R}\left(2\pi /3\right)=\left(\begin{array}{cc}-1/2& -\sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2& -1/2\end{array}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.98g)}& \mathbf{D}\left(R_2\right)=\mathbf{R}\left(4\pi /3\right)=\left(\begin{array}{cc}-1/2& \sqrt{3}/2\\ -\sqrt{3}/2& -1/2\end{array}\right).\end{array}$$

对于表示矩阵(5.98f)和(5.98g),有与群元素 $R_k$ 的关系式(5.98d)同样的关系式成立:

$$\begin{array}{}\text{(5.98h)}& \mathbf{D}\left(R_2\right)=\mathbf{D}\left(R_1{R}_2\right)=\mathbf{D}\left(R_1\right)\mathbf{D}\left(R_2\right),\mathbf{D}\left(R_1\right)\mathbf{D}\left(R_2\right)=\mathbf{D}\left(e\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{B}$: 二面角群 $D_3$ 等边三角形对于绕其角平分线旋转角度 $\pi$ 是不变的 (图 5.10). 这些旋转对应于与三角形平面垂直并且含有一条旋转轴的平面的反射 $S_A,S_B,S_C$ .

$$S_A\text{: 旋转}A\to A,B\to C,C\to B\text{;}$$$$\begin{array}{}\text{(5.99a)}& S_B\text{: 旋转}A\to C,B\to B,C\to A\text{;}\end{array}$$$$S_C\text{: 旋转}A\to B,B\to A,C\to C\text{.}$$

对于反射有

$$\begin{array}{}\text{(5.99b)}& S_{\sigma }{S}_{\sigma }=e\left(\sigma =A,B,C\right).\end{array}$$

乘积 $S_{\sigma }{S}_{\tau }\left(\sigma \ne \tau \right)$ 产生旋转 $R_1,R_2$ 之一,例如,将 $S_A{S}_B$ 应用于 $△ABC$ :

$$\begin{array}{}\text{(5.99c)}& S_A{S}_B\left(△ABC\right)=S_A\left(△CBA\right)=△CAB=R_1\left(△ABC\right),\end{array}$$

因此 $S_A{S}_B=R_1$ ,其中 $S_A,S_B,S_C$ 对应于图 5.10 上的结果.

循环群 $C_3$ 和反射 $S_A,S_B,S_C$ 一起形成二面角群 $D_3$ . 由(5.99c),反射并不形成子群. 反射的总体情况表示在群表 (5.99d) 中.(5.99d)

	$e$	$R_1$	$R_2$	$S_A$	$S_B$	$S_C$
$e$	$e$	$R_1$	$R_2$	$S_A$	$S_B$	$S_C$
$R_1$	$R_1$	$R_2$	$e$	$S_C$	$S_A$	$S_B$
$R_2$	$R_2$	$e$	$R_1$	$S_B$	$S_C$	$S_A$
$S_A$	$S_A$	$S_B$	$S_C$	$e$	$R_1$	$R_2$
$S_B$	$S_B$	$S_C$	$S_A$	$R_2$	$e$	$R_1$
$S_C$	$S_C$	$S_A$	$S_B$	$R_1$	$R_2$	$e$

在反射 $S_A$ 中只有点 $B$ 和 $C$ 的 $x$ 坐标的符号改变 (图 5.9). 这个坐标变换由矩阵

$$\begin{array}{}\text{(5.99e)}& \mathbf{D}\left(S_A\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

给出. 表示反射 $S_B$ 和 $S_C$ 的矩阵可以在群表 (5.99d) 中以及从 (5.98f) 和 (5.98g) 中的表示矩阵找到:

$$\mathbf{D}\left(S_B\right)=\mathbf{D}\left(R_2\right)\mathbf{D}\left(S_A\right)=\left(\begin{array}{cc}-1/2& \sqrt{3}/2\\ -\sqrt{3}/2& -1/2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1/2& \sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2& -1/2\end{array}\right),$$

(5.99f)

$$\mathbf{D}\left(S_C\right)=\mathbf{D}\left(R_1\right)\mathbf{D}\left(S_A\right)=\left(\begin{array}{cc}-1/2& -\sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2& -1/2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1/2& -\sqrt{3}/2\\ -\sqrt{3}/2& -1/2\end{array}\right).$$

(5.99g)

矩阵(5.98f)和(5.98g)以及矩阵(5.99f)和(5.99g)一起形成二面角群 $D_3$ 的表示.

2. 忠实表示

一个表示称为忠实的,如果 $G\to D\left(G\right)$ 是同构,即群元素对于表示矩阵的指派是一一映射.

3. 表示的性质

具有表示矩阵 $\mathbf{D}\left(a\right)$ 的表示有下列性质 $(a,b\in G,\mathbf{I}$ 是单位矩阵):

$$\begin{array}{}\text{(5.100)}& \mathbf{D}\left(a\ast b\right)=\mathbf{D}\left(a\right)\cdot \mathbf{D}\left(b\right),\mathbf{D}\left(a^{-1}\right)={\mathbf{D}}^{-1}\left(a\right),\mathbf{D}\left(e\right)=\mathbf{I}.\end{array}$$

5.3.4.2 特殊表示

1. 恒等表示

任何群 $G$ 有一个 1 维表示 (恒等表示),对此表示群的每个元素被映为单位矩阵 $\mathbf{I}:a\to \mathbf{I}$ (对所有 $a\in G$ ).

2. 伴随表示

称表示 $D^{+}\left(G\right)$ 与 $D\left(G\right)$ 伴随,如果对应的表示矩阵间的关系是复数共轭及关于主对角线的反射:

$$\begin{array}{}\text{(5.101)}& {\mathbf{D}}^{+}\left(G\right)={\tilde{\mathbf{D}}}^{\ast }\left(G\right).\end{array}$$

3. 酉表示

对于酉表示, 所有的矩阵都是酉矩阵:

$$\begin{array}{}\text{(5.102)}& \mathbf{D}\left(G\right)\cdot {\mathbf{D}}^{+}\left(G\right)=\mathbf{I},\end{array}$$

其中 $\mathbf{I}$ 是单位矩阵.

4. 等价表示

两个表示 $D\left(G\right)$ 和 $D^{\prime }\left(G\right)$ 被称为是等价的,如果对于群的每个元素 $a$ ,对应的表示矩阵由同一相似变换 $T=\left(T_{ij}\right)$ 相关联:

$$\begin{array}{}\text{(5.103)}& {\mathbf{D}}^{\prime }\left(a\right)={\mathbf{T}}^{-1}\cdot \mathbf{D}\left(a\right)\cdot \mathbf{T},D_{ik}^{\prime }\left(a\right)=\sum _{j,l=1}^n{T}_{ij}^{-1}\cdot D_{jl}\left(a\right)\cdot T_{lk},\end{array}$$

其中 $T$ 为非奇异矩阵, $T_{ij}^{-1}$ 表示 $\mathbf{T}$ 的逆矩阵 ${\mathbf{T}}^{-1}$ 的元素. 如果这样的关系不成立,那么两个表示称为不等价. 从 $D\left(G\right)$ 到 $D^{\prime }\left(G\right)$ 的转变对应于表示空间 $V_n$ 的基变换 $T:\left\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right\}\to \left\{{\mathbf{e}}_1^{\prime },{\mathbf{e}}_2^{\prime },\cdots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime }\right\}$ :

$$\begin{array}{}\text{(5.104)}& {\mathbf{e}}^{\prime }=\mathbf{e}T,{\mathbf{e}}_i^{\prime }=\sum _{k=1}^n{T}_{ki}{\mathbf{e}}_k\left(i=1,2,\cdots ,n\right).\end{array}$$

有限群的任何表示等价于酉表示.

5. 群元素的特征

在表示 $D\left(a\right)$ 中群元素 $a$ 的特征 $\chi \left(a\right)$ 定义为表示矩阵 $\mathbf{D}\left(a\right)$ 的迹 (即矩阵主对角线元素之和):

$$\begin{array}{}\text{(5.105)}& \chi \left(a\right)=\mathrm{Tr}\left(\mathbf{D}\right)=\sum _{i=1}^n{D}_{ii}\left(a\right).\end{array}$$

单位元 $e$ 的特征由表示的维数 $n$ 给出: $\chi \left(e\right)=n$ . 因为矩阵的迹在相似变换下不变, 所以对于等价表示群元素 $a$ 有相同的特征.

在原子或核物理学的壳层模型中,空间坐标为 ${\overrightarrow{r}}_i\left(i=1,2,3\right)$ 的三个粒子中两个可以用波函数 ${\phi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{r}\right)$ 刻画,而第三个粒子有波函数 ${\phi }_{\beta }\left(\overrightarrow{r}\right)$ (组态 ${\alpha }^2\beta \left(\overrightarrow{r}\right)$ ). 系统的波函数 $\psi$ 是三个粒子波函数之积: $\psi ={\phi }_{\alpha }{\phi }_{\alpha }{\phi }_{\beta }$ . 依据粒子1,2,3对于波函数的可能的分布, 我们得到三个函数:

$${\psi }_1={\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_2\right){\phi }_{\beta }\left({\overrightarrow{r}}_3\right),$$$$\begin{array}{}\text{(5.106a)}& {\psi }_2={\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\phi }_{\beta }\left(\overrightarrow{r_2}\right){\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_3\right),\end{array}$$$${\psi }_3={\phi }_{\beta }\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\phi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{r_2}\right){\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_3\right),$$

其中, 当实施置换时, 依据第 452 页 5.3.3.1, 2., 它们中一个变换为另一个. 这样我们对于函数 ${\psi }_1{\psi }_2{\psi }_3$ 得到对称群 $S_3$ 的三维表示. 依据 (5.93),表示矩阵的矩阵元素可以借助研究群元素 (5.84) 对基元素 $e_i$ 的坐标下标的作用求出. 例如,

$$p_1{\psi }_1=p_1{\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\phi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{r_2}\right){\phi }_{\beta }\left({\overrightarrow{r}}_3\right)$$$$={\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\phi }_{\beta }\left(\overrightarrow{r_2}\right){\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_3\right)=D_{21}\left(p_1\right){\psi }_2,$$$$\begin{array}{}\text{(5.106b)}& p_1{\psi }_2=p_1{\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\phi }_{\beta }\left(\overrightarrow{r_2}\right){\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_3\right)\end{array}$$$$={\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\phi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{r_2}\right){\phi }_{\beta }\left({\overrightarrow{r}}_3\right)=D_{12}\left(p_1\right){\psi }_1,$$$$p_1{\psi }_3=p_1{\phi }_{\beta }\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\phi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{r_2}\right){\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_3\right)$$$$={\phi }_{\beta }\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\phi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{r_2}\right){\phi }_{\alpha }\left({\overrightarrow{r}}_3\right)=D_{33}\left(p_1\right){\psi }_3\text{.}$$

总起来我们求得

$$\mathbf{D}\left(e\right)=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\mathbf{D}\left(p_1\right)=\left(\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$$$\begin{array}{}\text{(5.106c)}& \mathbf{D}\left(p_2\right)=\left(\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),\mathbf{D}\left(p_3\right)=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),\end{array}$$$$\mathbf{D}\left(p_4\right)=\left(\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right),\mathbf{D}\left(p_5\right)=\left(\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$$

对于特征, 我们有

$$\begin{array}{}\text{(5.106d)}& \chi \left(e\right)=3,\chi \left(p_1\right)=\chi \left(p_2\right)=\chi \left(p_3\right)=1,\chi \left(p_4\right)=\chi \left(p_5\right)=0.\end{array}$$

5.3.4.3 表示的直和

可以通过形成表示矩阵的直和由维数为 $n_1$ 和 $n_2$ 的表示 $D^{\left(1\right)}\left(G\right)$ 和 $D^{\left(2\right)}\left(G\right)$ 复合产生一个维数 $n=n_1+n_2$ 的新的表示 $D\left(G\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(5.107)}& \mathbf{D}\left(a\right)={\mathbf{D}}^{\left(1\right)}\oplus {\mathbf{D}}^{\left(2\right)}\left(a\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{D}}^{\left(1\right)}& \mathbf{0}\\ \mathbf{0}& {\mathbf{D}}^{\left(2\right)}\end{array}\right).\end{array}$$

表示矩阵的分块对角形蕴涵表示空间 $V_n$ 是两个不变子空间 $V_{n_1},V_{n_2}$ 的直和:

$$\begin{array}{}\text{(5.108)}& V_n=V_{n_1}\oplus V_{n_2},n=n_1+n_2.\end{array}$$

$V_n$ 的子空间 $V_m\left(m<n\right)$ 称为不变子空间,如果对于任何线性变换 $D\left(a\right),a\in G$ , 每个向量 $\underset{―}{x}\in V_m$ 仍然被映为 $V_m$ 的元素:

$$\begin{array}{}\text{(5.109)}& {\underset{―}{\mathbf{x}}}^{\prime }=\mathbf{D}\left(a\right)\underset{―}{\mathbf{x}},\text{ (其中 }\underset{―}{\mathbf{x}},{\underset{―}{\mathbf{x}}}^{\prime }\in V_m\text{ ). }\end{array}$$

表示 (5.107) 的特征是单个表示的特征之和:

$$\begin{array}{}\text{(5.110)}& \chi \left(a\right)={\chi }^{\left(1\right)}\left(a\right)+{\chi }^{\left(2\right)}\left(a\right).\end{array}$$

5.3.4.4 表示的直积

如果 ${\underset{―}{e}}_i\left(i=1,2,\cdots ,n_1\right)$ 和 ${\underset{―}{e}}_k^{\prime }\left(k=1,2,\cdots ,n_2\right)$ 分别是表示空间 $V_{n_1}$ 和 $V_{n_2}$ 的基向量, 那么张量积

$$\begin{array}{}\text{(5.111)}& {\underset{―}{e}}_{ik}=\left\{{\underset{―}{e}}_i{\underset{―}{e}}_k^{\prime }\right\}\left(i=1,2,\cdots ,n_1;k=1,2,\cdots ,n_2\right)\end{array}$$

形成 $n_1\cdot n_2$ 维积空间 $V_{n_1}\otimes V_{n_2}$ 的基. 应用分别是 $V_{n_1}$ 和 $V_{n_2}$ 中的表示 $D^{\left(1\right)}\left(a\right)$ 和 $D^{\left(2\right)}\left(a\right)$ ,可以通过形成表示矩阵的直接积或 (内) 克罗内克积 (参见第 370 页 4.1.5, 9.) 构造积空间中的 $n_1\cdot n_2$ 维表示 $D\left(G\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(5.112)}& \mathbf{D}\left(G\right)={\mathbf{D}}^{\left(1\right)}\left(G\right)\otimes {\mathbf{D}}^{\left(2\right)}\left(G\right),{\left(D\left(G\right)\right)}_{ik,jl}=D_{ik}^{\left(1\right)}\cdot D_{jl}^{\left(2\right)}\left(a\right)\end{array}$$$$\left(i,k=1,2,\cdots ,n_1;j,l=1,2,\cdots ,n_2\right).$$

两个表示的克罗内克积的特征等于因子的特征之积:

$$\begin{array}{}\text{(5.113)}& {\chi }^{(1\times 2)}\left(a\right)={\chi }^{\left(1\right)}\left(a\right)\cdot {\chi }^{\left(2\right)}\left(a\right).\end{array}$$

5.3.4.5 可约和不可约表示

如果表示空间 $V_n$ 有一个在群运算下不变的子空间 $V_m\left(m<n\right)$ ,那么可以通过 $V_n$ 的适当的基变换 $\mathbf{T}$ ,依据

$$\begin{array}{}\text{(5.114)}& {\mathbf{T}}^{-1}\cdot \mathbf{D}\left(a\right)\cdot \mathbf{T}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{D}}_1\left(a\right)& \mathbf{A}& \\ \mathbf{0}& {\mathbf{D}}_2\left(a\right)& \end{array}\right)\begin{array}{l}\text{ 关 }m\text{ 行 }\\ \text{ } }n-m\text{ 行 }\end{array}\end{array}$$

将表示矩阵分解. ${\mathbf{D}}_1\left(a\right)$ 和 ${\mathbf{D}}_2\left(a\right)$ 分别是 $a\in G$ 的 $m$ 维和 $n-m$ 维矩阵表示.

如果 $V_n$ 中没有真 (非平凡) 不变子空间,那么表示 $D\left(a\right)$ 称为不可约的. 一个有限群的不等价的不可约表示的个数是有限的. 如果能够找到基的变换 $\mathbf{T}$ 使得 $V_n$ 是不变子空间的直接和, 即

$$\begin{array}{}\text{(5.115)}& V_n=V_1\oplus \cdots \oplus V_{n_j},\end{array}$$

那么对于每个 $a\in G$ ,借助于应用 $\mathbf{T}$ 的相似变换可将表示矩阵 $\mathbf{D}\left(a\right)$ 变换为分块对角形 (在 (5.114) 中 $\mathbf{A}=\mathbf{0}$ ):

$${\mathbf{T}}^{-1}\cdot \mathbf{D}\left(a\right)\cdot \mathbf{T}={\mathbf{D}}^{\left(1\right)}\left(a\right)\oplus \cdots \oplus {\mathbf{D}}^{\left(h_j\right)}\left(a\right)$$$$\begin{array}{}\text{(5.116)}& =\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{D}}^{\left(1\right)}\left(a\right)& & \mathbf{0}\\ & \ddots & \\ \mathbf{0}& & {\mathbf{D}}^{\left(n_j\right)}\left(a\right)\end{array}\right),\end{array}$$

这样的表示称为完全可约的.

注 对于群论在自然科学中的应用, 一个基本任务是将给定群的所有不等价的不可约表示分类.

在 (5.106c) 中给出的对称群 $S_3$ 的表示是可约的. 例如,在基变换 $\left\{{\underset{―}{e}}_1,{\underset{―}{e}}_2,{\underset{―}{e}}_3\right\}\to$ $\left\{{\underset{―}{e}}_1^{\prime }={\underset{―}{e}}_1+{\underset{―}{e}}_2+{\underset{―}{e}}_3,{\underset{―}{e}}_2^{\prime }={\underset{―}{e}}_2,{\underset{―}{e}}_3^{\prime }={\underset{―}{e}}_3\right\}$ 下,我们得到置换 $p_3$ (其中 ${\psi }_1={\underset{―}{e}}_1,{\psi }_2=$ ${\underset{―}{\mathbf{e}}}_2,{\psi }_3={\underset{―}{\mathbf{e}}}_3)$ 的表示矩阵:

$$\begin{array}{}\text{(5.117)}& \mathbf{D}\left(p_3\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{D}}_1\left(p_3\right)& \mathbf{0}\\ \mathbf{A}& {\mathbf{D}}_2\left(p_3\right)\end{array}\right),\end{array}$$

其中 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{l}0\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{D}}_1\left(p_3\right)=1$ 是 $S_3$ 的恒等表示,并且 ${\mathbf{D}}_2\left(p_3\right)=\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ .

5.3.4.6 第一舒尔 (Schur) 引理

如果 $\mathbf{C}$ 是一个算子,与群的一个不可约表示的所有变换交换: $\left[\mathbf{C},\mathbf{D}\left(a\right)\right]=$ $\mathbf{C}\cdot \mathbf{D}\left(a\right)-\mathbf{D}\left(a\right)\cdot \mathbf{D}=0,a\in G$ ,并且表示空间 $V_n$ 是 $\mathbf{C}$ 的不变子空间,那么 $\mathbf{C}$ 是单位算子的倍数,也就是说,与不可约表示的所有矩阵交换的矩阵 $\left({\mathbf{c}}_{ik}\right)$ 是矩阵 $\mathbf{I}$ 的倍数: $\mathbf{C}=\lambda \cdot \mathbf{I},\lambda \in \mathbb{C}$ .

5.3.4.7 克勒布施-戈丹 (Clebsch-Gordan) 级数

一般地,两个不可约表示 ${\mathbf{D}}^{\left(1\right)}\left(G\right),{\mathbf{D}}^{\left(2\right)}\left(G\right)$ 的克罗内克积是可约的. 应用积空间 ${\mathbf{D}}^{\left(1\right)}\left(G\right)\otimes {\mathbf{D}}^{\left(2\right)}\left(G\right)$ 的适当的基变换可将它分解为它的不可约部分 ${\mathbf{D}}^{\left(\alpha \right)}\left(G\right)$ $\left(\alpha =1,2,\cdots ,n\right)$ 的直和 (克勒布施-戈丹定理). 这个展开式称为克勒布施-戈丹

级数:

$$\begin{array}{}\text{(5.118)}& {\mathbf{D}}^{\left(1\right)}\left(G\right)\otimes {\mathbf{D}}^{\left(2\right)}\left(G\right)=\sum _{\alpha =1}^n\oplus m_{\alpha }{\mathbf{D}}^{\left(\alpha \right)}\left(G\right),\end{array}$$

其中 $m_{\alpha }$ 是不可约表示 ${\mathbf{D}}^{\left(\alpha \right)}\left(G\right)$ 在克勒布施-戈丹级数中出现的重数.

积空间中使得克罗内克积归约为它的不可约分量的基变换的矩阵元素称为克勒布施-戈丹系数.

5.3.4.8 对称群 $S_M$ 的不可约表示

1. 对称群 $S_M$

对称群 $S_M$ 的不等价的不可约表示由 $M$ 的分拆唯一地刻画,也就是说,由 $M$ 依照

$$\left[\lambda \right]=\left[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_M\right],{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_M=M,{\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_M\ge 0$$

(5.119)

的整数分解来刻画. 通过安排方盒为杨氏 (Young) 图可得到这个分拆的图形表示. 对于群 $S_4$ 我们得到 5 个杨氏图如下图:

表示 $\left[\lambda \right]$ 的维数由

$$\begin{array}{}\text{(5.120)}& n^{\left[\lambda \right]}=M!\frac{\prod _{i<j<k}\left({\lambda }_i-{\lambda }_j+j-i\right)}{\prod _{i=1}^k\left({\lambda }_i+k-i\right)!}\end{array}$$

给出.

通过交换行和列可构造与 $\left[\lambda \right]$ 共轭的杨氏图 $\left[\tilde{\lambda }\right]$ . 一般地,如果将 $S_M$ 的不可约表示限制在子群 $S_{M-1},S_{M-2},\cdots$ 之一,则是可约的.

在全同粒子系统的量子力学中泡利原理要求构造多体波函数, 使得对于任意两个粒子的所有坐标的交换是反对称的. 通常, 波函数是作为一个空间坐标函数与一个旋子变量函数的积的形式给出的. 如果这种情形由于粒子置换波函数的空间部分依据对称群的不可约表示 $\left[\lambda \right]$ 变换,那么必须与依据 $\left[\tilde{\lambda }\right]$ 变换的旋子函数组合,以便得到一个当交换两个粒子时是反对称的全波函数.