3.1.6 圆和有关的图形

3.1.6.1 圆

圆是平面上与一个给定点即圆心保持相同给定距离的点的轨迹. 该距离本身, 还有连接圆心与圆上任意点之间的线段称为半径. 圆的圆周环绕着圆的面积. 连接圆上两点的线段称为弦. 穿过圆上两点的直线称为割线. 和圆只有一个公共点的直线称为该圆的切线.

弦定理(图 3.26)

$$\begin{array}{}\text{(3.58)}& \overline{AC}\cdot \overline{AD}=\overline{AB}\cdot \overline{AE}=r^2-m^2.\end{array}$$

割线定理(图 3.27)

$$\begin{array}{}\text{(3.59)}& \overline{AB}\cdot \overline{AE}=\overline{AC}\cdot \overline{AD}=m^2-r^2.\end{array}$$

切割线定理(图 3.27)

$$\begin{array}{}\text{(3.60)}& {\overline{AT}}^2=\overline{AB}\cdot \overline{AE}=\overline{AC}\cdot \overline{AD}=m^2-r^2.\end{array}$$

周长

$$\begin{array}{}\text{(3.61)}& U=2\pi r\approx 6.283r,U=\pi d\approx 3.142d,U=2\sqrt{\pi S}\approx 3.545\sqrt{S}.\end{array}$$

面积

$$\begin{array}{}\text{(3.62)}& S=\pi r^2\approx 3.142r^2,S=\frac{\pi d^2}{4}\approx 0.785d^2,S=\frac{Ud}{4}.\end{array}$$

半径

$$\begin{array}{}\text{(3.63)}& r=\frac{U}{2\pi }\approx 0.159U.\end{array}$$

直径

$$\begin{array}{}\text{(3.64)}& d=2r=2\sqrt{\frac{S}{\pi }}\approx 1.128\sqrt{S}.\end{array}$$

对于下列与角有关的公式, 见第 168 页 3.1.1.2 中角的定义.

圆周角(图 3.25)

$$\begin{array}{}\text{(3.65a)}& \alpha =\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{BC}=\frac{1}{2}\nless BOC=\frac{1}{2}\phi .\end{array}$$

泰勒斯定理的一种特殊情形(参见第 188 页 3.2.1)

$$\begin{array}{}\text{(3.65b)}& \phi ={180}^{\circ }\text{,即 }\alpha ={90}^{\circ }\text{. }\end{array}$$

弦与切线之间的夹角(图 3.25)

$$\begin{array}{}\text{(3.66)}& \beta =\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{AC}=\frac{1}{2}\nless COA\end{array}$$

内角(图 3.26)

$$\begin{array}{}\text{(3.67)}& \gamma =\frac{1}{2}\left(\stackrel{⏜}{CB}+\stackrel{⏜}{ED}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{pounds}BOC+\text{pounds}EOD\right).\end{array}$$

外角(图 3.27)

$$\begin{array}{}\text{(3.68)}& \alpha =\frac{1}{2}\left(\stackrel{⏜}{DE}-\stackrel{⏜}{BC}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{pounds}EOC-\text{pounds}COB\right).\end{array}$$

割线与切线之间的夹角(图 3.27)

$$\begin{array}{}\text{(3.69)}& \beta =\frac{1}{2}\left(\stackrel{⏜}{TE}-\stackrel{⏜}{TB}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{pounds}TOE-\text{pounds}BOT\right).\end{array}$$

切线角 (图 3.28) $D$ 和 $E$ 是左边弧和右边弧上的任意一点.

$$\alpha =\frac{1}{2}\left(\stackrel{⏜}{BDC}-\stackrel{⏜}{CEB}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{pounds}BOC-\text{pounds}COB\right)$$$$\begin{array}{}\text{(3.70)}& =\frac{1}{2}\left({360}^{\circ }-\nless COB-\nless COB\right)={180}^{\circ }-\nless COB.\end{array}$$

3.1.6.2 圆弓形和圆扇形

定义量 半径 $r$ 和圆心角 $\alpha$ (图 3.29). 要确定的量是:

弦

$$\begin{array}{}\text{(3.71)}& a=2\sqrt{2hr-h^2}=2r\sin \frac{\alpha }{2}.\end{array}$$

圆心角

$$\begin{array}{}\text{(3.72)}& \alpha =2\arcsin \frac{a}{2r}\left(\alpha \text{ 以度度量 }\right).\end{array}$$

弓形的高

$$\begin{array}{}\text{(3.73)}& h=r-\sqrt{r^2-\frac{a^2}{4}}=r\left(1-\cos \frac{\alpha }{2}\right)=\frac{a}{2}\tan \frac{\alpha }{4}.\end{array}$$

弧长

$$\begin{array}{}\text{(3.74a)}& l=\frac{2\pi r\alpha }{360}\approx 0.01745r\alpha \left(\alpha \text{ 以弧度度量 }\right)\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3.74b)}& l\approx \frac{8b-a}{3}\text{ 或 }l\approx \sqrt{a^2+\frac{16}{3}{h}^2}.\end{array}$$

扇形面积

$$\begin{array}{}\text{(3.75)}& S=\frac{\pi r^2\alpha }{360}\approx 0.00873r^2\alpha .\end{array}$$

弓形面积

$$\begin{array}{}\text{(3.76)}& S=\frac{r^2}{2}\left(\frac{\pi \alpha }{180}-\sin \alpha \right)=\frac{1}{2}\left[lr-a\left(r-h\right)\right],S\approx \frac{h}{15}\left(6a+8b\right).\end{array}$$

3.1.6.3 圆环

圆环的定义量 外环半径 $R$ 、内环半径 $r$ 和圆心角 $\phi$ (图 3.30).

外环直径

$$\begin{array}{}\text{(3.77)}& D=2R\text{.}\end{array}$$

内环直径

$$\begin{array}{}\text{(3.78)}& d=2r\text{.}\end{array}$$

平均半径

$$\begin{array}{}\text{(3.79)}& \rho =\frac{R+r}{2}.\end{array}$$

圆环的宽度

$$\begin{array}{}\text{(3.80)}& \delta =R-r.\end{array}$$

圆环面积

$$\begin{array}{}\text{(3.81)}& S=\pi \left(R^2-r^2\right)=\frac{\pi }{4}\left(D^2-d^2\right)=2\pi \rho \delta .\end{array}$$

对应圆心角 $\phi$ 的圆环面积(图 3.30 中的阴影面积)

$$\begin{array}{}\text{(3.82)}& S_{\phi }=\frac{\phi \pi }{360}\left(R^2-r^2\right)=\frac{\phi \pi }{1440}\left(D^2-d^2\right)=\frac{\phi \pi }{180}\rho \delta \left(\phi \text{ 以弧度度量 }\right).\end{array}$$