2.13.2 长摆线与短摆线, 或次摆线

当圆沿一直线做无滑动滚动时, 固定在以圆心为始点的半直线上的圆内或圆外一定点经过的轨迹称为长摆线与短摆线, 或次摆线(图 2.68).

次摆线的参数方程形如

$$\begin{array}{}\text{(2.243a)}& x=a\left(t-\lambda \sin t\right)\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.243b)}& y=a\left(1-\lambda \cos t\right)\end{array}$$

其中 $a$ 为圆的半径, $t$ 为角 $\nless P{C}_{1}M,\lambda a=\overline{C_{1}P}$ .

当 $\lambda >1$ 时,为长摆线,当 $\lambda <1$ 时,为短摆线.

曲线为以 $\overline{O_0{O}_1}=2\pi a$ 为周期的周期曲线,极大值点

$$A_1,A_2,\cdots ,A_{k+1}=\left(\left(2k+1\right)\pi a,\left(1+\lambda \right)a\right),$$

极小值点

$$B_0,B_1,B_2,\cdots ,B_k=\left(2k\pi a,\left(1-\lambda \right)a\right)\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right).$$

长摆线有二重点 $D_0,D_1,D_2,\cdots ,D_k=\left(2k\pi a,a\left(1-\sqrt{{\lambda }^2-t_0^2}\right)\right)$ ,其中 $t_0$ 为方程 $t=\lambda \sin t$ 的最小正根.

短摆线有拐点 $E_1,E_2,\cdots ,E_{k+1}=\left[a\left({\mathrm{arc}}_k\cos \lambda -\lambda \sqrt{1-{\lambda }^2}\right),a\left(1-{\lambda }^2\right)\right]$ . 通过计算积分 $L=a{\int }_0^{2\pi }\sqrt{1+{\lambda }^2-2\lambda \cos t}\mathrm{d}t$ 可得到一个周期的曲线长. 图 2.68 中阴影部分的面积 $S=\pi a^2\left(2+{\lambda }^2\right)$ . 曲率半径 $r=a\frac{{(1+{\lambda }^2-2\lambda \cos t)}^{3/2}}{\lambda \left(\cos t-\lambda \right)}$ ,且在极大值点曲率 $r_A=-a\frac{{(1+\lambda )}^2}{\lambda }$ ,极小值点曲率 $r_B=a\frac{{(1-\lambda )}^2}{\lambda }$ .