2.12.3 帕斯卡蜗线

(2.232) 中, 原点在圆周上的圆的蚌线称为帕斯卡蜗线(图 2.63), 它是一般蚌线的又一特例 (参见本页 2.12.2). 其笛卡儿坐标形式方程、极坐标方程和参数方程分别为 (也可参见第 136 页 (2.246c))

$$\begin{array}{}\text{(2.235a)}& {(x^2+y^2-ax)}^2=l^2\left(x^2+y^2\right)\left(a>0,l>0\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.235b)}& \rho =a\cos \phi +l\left(a>0,l>0\right),\end{array}$$$$x=a{\cos }^2\phi +l\cos \phi ,y=a\cos \phi \sin \phi +l\sin \phi \left(a>0,l>0,0\le \phi <2\pi \right),$$

(2.235c)

其中 $a$ 是圆的直径. 顶点 $A,B$ 坐标为 $\left(a\pm l,0\right)$ ,曲线的形状与 $a$ 和 $l$ 有关,参见图 2.63 和图 2.64.

a) 极值点和拐点 若 $a>l$ ,曲线有四个极值点 $C,D,E,F$ ; 若 $a\le l$ ,曲线在 $\cos \phi =\frac{-l\pm \sqrt{l^2+8a^2}}{4a}$ 处有两个极值点. 若 $a<l<2a$ ,在 $\cos \phi =-\frac{2a^2+l^2}{3al}$ 处有两拐点 $G$ 和 $H$ .

b) 二重切线 若 $l<2a$ ,在点 $I,K$ 即 $\left(-\frac{l^2}{4a},\pm \frac{l\sqrt{4a^2-l^2}}{4a}\right)$ 处有二重切线.

c) 奇点 原点为奇点. 若 $a<l$ ,该点为孤立点; 若 $a>l$ ,该点为二重点,此处切线斜率 $\tan \alpha =\pm \frac{\sqrt{a^2-l^2}}{l}$ ,曲率半径 $r_0=\frac{1}{2}\sqrt{a^2-l^2}$ .

当 $a=l$ 时,原点是尖点; 该曲线称为心脏线.

蜗线的面积 $S=\frac{\pi a^2}{2}+\pi l^2$ ,其中当 $a>l$ 时 (图 2.63(c)),内部环形的面积要计算两次.