12.2.1 距离空间

设 $X$ 是一集合,并假定在 $X\times X$ 上定义了一个实值非负函数 $\rho \left(x,y\right)\left(x,y\in X\right)$ . 如果函数 $\rho :X\times Y\to {\mathbb{R}}_{+}^1$ 对于任意元 $x,y,z\in X$ 满足性质 (M1) $\sim \left(\mathrm{M}3\right)$ ,那么它就叫作 $X$ 中一个度量或距离,而偶对 $X=\left(X,\rho \right)$ 则叫作距离空间. 距离空间的公理是:

(M1) $\rho \left(x,y\right)\ge 0$ 并且 $\rho \left(x,y\right)=0$ 当且仅当 $x=y$ ; (非负性)(12.40)

(M2) $\rho \left(x,y\right)=\rho \left(y,x\right)$ ; (对称性)(12.41)

(M3) $\rho \left(x,y\right)\le \rho \left(x,z\right)+\rho \left(z,y\right)$ . (三角形不等式)(12.42)

在距离空间 $X=\left(X,\rho \right)$ 的任意子集 $Y$ 上可以用自然的方式定义一个距离,只需把空间 $X$ 上的距离 $\rho$ 限制在集合 $Y$ 上,即把 $\rho$ 仅仅看成是子集 $Y\times Y$ 上的函数. $\left(Y,\rho \right)$ 称作距离空间 $X$ 的子空间.

$◼\mathbf{A}$: 集合 ${\mathbb{R}}^n$ 和 ${\mathbb{C}}^n$ 是距离空间,其中欧几里得距离定义为: 对于点 $x=\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right)$ 和 $y=\left({\eta }_1,\cdots ,{\eta }_n\right)$ ,

$$\begin{array}{}\text{(12.43)}& \rho \left(x,y\right)=\sqrt{\sum _{k=1}^n{({\xi }_k-{\eta }_k)}^2}.\end{array}$$

$◼\mathbf{B}$: 对于向量 $x=\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right)$ 和 $y=\left({\eta }_1,\cdots ,{\eta }_n\right)$ ,函数

$$\begin{array}{}\text{(12.44)}& \rho \left(x,y\right)=\underset{1\le k\le n}{max}\left|{\xi }_k-{\eta }_k\right|\end{array}$$

也是 ${\mathbb{R}}^n$ 和 ${\mathbb{C}}^n$ 上的距离,即所谓最大距离. 如果 $\tilde{x}=\left({\tilde{\xi }}_1,\cdots ,{\tilde{\xi }}_n\right)$ 是向量 $x=$ $\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right)$ 的一近似,人们关心的问题是要知道它们坐标之间的最大偏差 $\underset{1\le k\le n}{max}\mid {\xi }_k$ $-{\eta }_k\mid$ 有多大.

对于 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ (或 ${\mathbb{C}}^n$ ),函数

$$\begin{array}{}\text{(12.45)}& \rho \left(x,y\right)=\sum _{k=1}^n\left|{\xi }_k-{\eta }_k\right|\end{array}$$

也定义 ${\mathbb{R}}^n$ 和 ${\mathbb{C}}^n$ 上一个距离,即所谓绝对值距离. 距离 (12.43) $\sim \left(12.45\right)$ 在 $n=1$ 情形下就化为空间 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ (实数集和复数集) 上的绝对值 $\left|x-y\right|$ .

$◼\mathbf{C}$: 有穷 0-1 序列, 例如 1110 和 010110, 在编码理论中称作字. 如果对两个相同长度 $n$ 的字,即 $x=\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right)$ 和 $y=\left({\eta }_1,\cdots ,{\eta }_n\right)$ ,计算其有不同数字的位置数目, $\rho \left(x,y\right)$ 定义为使得 ${\xi }_k\ne {\eta }_k$ 的所有这些 $k\in \{1,\cdots ,n\}$ 的个数,那么具有给定字长 $n$ 的字的集合是一个距离空间,这个度量就是所谓的汉明距离,例如 $\rho \left(\left(1110\right),\left(0100\right)\right)=2$ .

$◼\mathbf{D}$: 在集合 $m$ 及其子集 $c$ 和 $c_0$ (参见第 857 页 (12.12)) 中,距离可由下式定义:

$$\begin{array}{}\text{(12.46)}& \rho \left(x,y\right)=\underset{k}{sup}\left|{\xi }_k-{\eta }_k\right|,\left(x=\left({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots \right),y=\left({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots \right)\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{E}$: 在序列集合 ${\ell }^p\left(1\le p<\mathrm{\infty }\right)$ 中的序列 $x=\left({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots \right)$ 要求级数 $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|{\xi }_k\right|}^p$ 绝对收敛, 其距离定义为

$$\begin{array}{}\text{(12.47)}& \rho \left(x,y\right)=\sqrt[p]{\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{|{\xi }_k-{\eta }_k|}^p}\left(x,y\in {\ell }^p\right).\end{array}$$

IF: 在集合 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中,距离定义为

$$\begin{array}{}\text{(12.48)}& \rho \left(x,y\right)=\underset{t\in \left[a,b\right]}{max}\left|x\left(t\right)-y\left(t\right)\right|.\end{array}$$

$◼\mathbf{G}$: 在集合 ${\mathcal{C}}^{\left(k\right)}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中,距离定义为

$$\begin{array}{}\text{(12.49)}& \rho \left(x,y\right)=\sum _{\ell =0}^k\underset{t\in \left[a,b\right]}{max}\left|x^{\left(\ell \right)}\left(t\right)-y^{\left(\ell \right)}\left(t\right)\right|.\end{array}$$

$◼\mathbf{H}$:: 考虑有界区域 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ 上勒贝格可测函数的等价类集合 $L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)\left(1\le p<\mathrm{\infty }\right)$ , 这里的勒贝格可测函数 $x\left(t\right)$ 几乎处处定义在 $\mathrm{\Omega }$ 上,并满足 ${\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|x\left(t\right)\right|}^p\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$ (亦参见第 905 页 12.9). 该集合的距离定义为

$$\begin{array}{}\text{(12.50)}& \rho \left(x,y\right)=\sqrt[p]{{\int }_{\mathrm{\Omega }}{|x\left(t\right)-y\left(t\right)|}^p\mathrm{d}\mu }.\end{array}$$

12.2.1.1 球, 邻域和开集

距离空间 $X=\left(X,\rho \right)$ 中的元也称作点,对于给定的实数 $r>0$ 和点 $x_0$ ,集合

$$\begin{array}{}\text{(12.51)}& B\left(x_0;r\right)=\left\{x\in X:\rho \left(x,x_0\right)<r\right\},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(12.52)}& \overline{B}\left(x_0;r\right)=\left\{x\in X:\rho \left(x,x_0\right)\le r\right\}\end{array}$$

分别称作以 $x_0$ 为中心、 $r$ 为半径的开球和闭球.

在向量空间 ${\mathbb{R}}^2$ 中,由距离 (12.43) $\sim \left(12.45\right)$ 定义的中心 $x_0=0$ 和半径 $r=1$ 的球 (圆) 示于图 12.4(a),(b),(c).

距离空间 $X=\left(X,\rho \right)$ 的子集 $U$ 称作点 $x_0$ 的一个邻域,是指 $U$ 包含中心为 $x_0$ 的一个开球,换句话说,是指存在 $r>0$ 使得 $B\left(x_0;r\right)\subset U$ . 点 $x$ 的邻域 $U$ 也记作 $U\left(x\right)$ . 显然,每个球都是其中心的一个邻域,一个开球是其所有点的邻域. 点 $x_0$ 称作集合 $A\subset X$ 的一个内点,是指 $x_0$ 和其某个邻域一起属于 $A$ ,即存在 $x_0$ 的一个邻域 $U$ 使得 $x_0\in U\subset A$ . 距离空间的子集称作开集,是指其所有点都是内点. 显然 $X$ 本身是一个开集.

每个距离空间中的开球,特别是 $\mathbb{R}$ 中的开区间,是开集的典型代表.

所有开集的集合满足如下的开集公理:

• 如果 $G_{\alpha }$ 是开集, $\mathrm{\forall }\alpha \in I$ ,则集合 $\bigcup _{\alpha \in I}{G}_{\alpha }$ 也是开集.

• 如果 $G_1,G_2,\cdots ,G_n$ 是任意有穷个开集,则集合 $\bigcap _{k=1}^n{G}_k$ 也是开集.

• 空集 $\varnothing$ 按定义是开集.

距离空间中的一个子集 $A$ 称作是有界的,是指集合 $A$ 包含在某个球 $B\left(x_0;R\right)$ 中,即 $\rho \left(x,x_0\right)<R,\mathrm{\forall }x\in A$ ,这里元 $x_0$ 不必属于 $A$ ,而 $R>0$ .

12.2.1.2 距离空间中的序列收敛

设 $X=\left(X,\rho \right)$ 是一距离空间, $x_0\in X,x_n\in X,{\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $X$ 的序列. 序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 称作收敛于点 $x_0$ ,是指对于每个邻域 $U\left(x_0\right)$ ,存在一标号 $n_0=n_0\left(U\left(x_0\right)\right)$ 使得对于所有 $n>n_0$ ,有 $x_n\in U\left(x_0\right)$ . 常用的收敛的记号是

$$\begin{array}{}\text{(12.53)}& x_n\to x_0\left(n\to \mathrm{\infty }\right)\text{ 或 }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_0,\end{array}$$

而点 $x_0$ 称作序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 的极限. 一个序列的极限是唯一确定的. 实际上无须考虑点 $x_0$ 处的任意邻域,而只要考虑任意半径的开球就够了,由此 (12.53) 等价于: $\mathrm{\forall }\epsilon >$ $0($ 想象为开球 $B\left(x_0;\epsilon \right))$ ,存在一标号 $n_0=n_0\left(\epsilon \right)$ 使得当 $n>n_0$ 时,有 $\rho \left(x_n,x_0\right)<$ $\epsilon$ . 注意(12.53)意味着 $\rho \left(x_n,x_0\right)\to 0$ .

利用特定距离空间中引入的这些概念, 就可以计算点与点之间的距离, 并研究点列的收敛性. 在数值方法以及利用某些函数类的函数逼近中, 这是非常重要的 (例如, 参见第 1276 页 19.6).

如果在空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中赋以前面所述的某种距离,则其中的收敛总是坐标收敛.

在空间 $\mathcal{B}\left(\left[a,b\right]\right)$ 和 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中,由 (12.48) 诱导的收敛意味着函数序列在区间 $\left[a,b\right]$ 上一致收敛 (参见第 626 页 7.3.2).

在空间 $L^2\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 中,对应距离 (12.50) 的收敛意味着 (二次) 平均收敛,即 $x_n\to$ $x_0$ 是指

$$\begin{array}{}\text{(12.54)}& {\int }_{\mathrm{\Omega }}{|x_n-x_0|}^2\mathrm{d}\mu \to 0\left(n\to \mathrm{\infty }\right).\end{array}$$

12.2.1.3 闭集和闭包

1. 闭集

距离空间 $X$ 中的子集 $F$ 称作闭集,是指 $X\setminus F$ 是开集. 距离空间中的每一个闭球,特别是 $\mathbb{R}$ 中的形如 $\left[a,b\right],[a,\mathrm{\infty }),(-\mathrm{\infty },a]$ 这样的区间,都是闭集.

根据开集的公理, 距离空间中所有闭集组成的集族具有如下性质:

• 如果 $F_{\alpha }$ 是闭的, $\mathrm{\forall }\alpha \in I$ ,则 $\bigcap _{\alpha \in I}{F}_{\alpha }$ 是闭的.

• 如果 $F_1,\cdots ,F_n$ 是有穷多个闭集,则集合 $\bigcup _{k=1}^n{F}_k$ 是闭的.

• 空集 $\varnothing$ 依据定义是闭集.

集合 $\varnothing ,X$ 是既开又闭的集合.

距离空间 $X$ 中的点 $x_0$ 称作子集 $A\subset X$ 的极限点,是指对于每个邻域 $U\left(x_0\right)$ , 有

$$\begin{array}{}\text{(12.55)}& U\left(x_0\right)\cap A\ne \varnothing .\end{array}$$

如果对于任意邻域 $U\left(x_0\right)$ ,上述交集总是至少包含一个与 $x_0$ 不同的点,则 $x_0$ 称作集合 $A$ 的聚点. 不是聚点的极限点称作孤立点.

$A$ 的聚点不必属于集合 $A$ ,例如,相对于集合 $(a,b]$ ,点 $a$ 就不在集合 $(a,b]$ ,但是 $A$ 的孤立点则一定属于集合 $A$ .

如果存在 $A$ 中的点 $x_n$ 组成的序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 收敛于 $x_0$ ,则 $x_0$ 就是 $A$ 的一个极限点.

2. 集合的闭包

距离空间 $X$ 中的每个子集都在闭集 $X$ 中. 因此总存在一个包含 $A$ 的最小的闭集,即所有包含 $A$ 的闭集之交. 这个集合称作集合 $A$ 的闭包,通常记作 $\overline{A}$ . $\overline{A}$ 等于 $A$ 的所有极限点的集合; 其实, $A$ 加上其所有聚点就是 $\overline{A}.A$ 是闭集当且仅当 $A=\overline{A}$ . 因此,闭集可以通过如下序列方式予以刻画: $A$ 是闭集当且仅当对于 $A$ 中每个收敛于点 $x_0\in X$ 的点列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ,极限 $x_0$ 也属于 $A$ .

$A$ 的边界点定义如下: $x_0$ 是 $A$ 的边界点,是指对于每个邻域 $U\left(x_0\right)$ ,有 $U\left(x_0\right)\cap$ $A\ne \varnothing ,U\left(x_0\right)\cap \left(X\setminus A\right)\ne \varnothing .x_0$ 本身不必属于 $A$ . 闭集的另一个特征是: 如果 $A$ 包含其所有边界点,则 $A$ 是闭集. (距离空间 $X$ 本身的边界点集是空的. )

12.2.1.4 稠子集和可分距离空间

距离空间 $X$ 的子集 $A$ 称作几乎处处稠的,是指 $\overline{A}=X$ ,即每一点 $x\in X$ 都是集合 $A$ 的极限点. 这就是说,对于每一点 $x\in X$ ,存在一序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},x_n\in X$ 使得 $x_n\to x$ .

$◼\mathbf{A}$:根据魏尔斯特拉斯逼近定理,有界闭区间 $\left[a,b\right]$ 上的每个连续函数都可以在距离空间 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中用多项式任意逼近,即一致逼近. 这个定理现在可以叙述如下: 区间 $\left[a,b\right]$ 上的多项式集在 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中是几乎处处稠的.

$◼\mathbf{B}$: 实数空间 $\mathbb{R}$ 中的有理数集 $\mathbb{Q}$ 和无理数集是几乎处处稠子集的又一例子.

距离空间 $X$ 称作可分的,是指 $X$ 中存在一个可数的几乎处处稠子集. 例如, ${\mathbb{R}}^n$ 中所有含有理分量的向量的子集是几乎处处可分的. 空间 $\ell ={\ell }^1$ 也是可分的, 因为其中所有含有理分量的形如 $x=\left(r_1,r_2,\cdots ,r_N,0,0,\cdots \right)$ 的点集是可分的,这里 $N=N\left(x\right)$ 是任意自然数. 空间 $\mathbf{m}$ 则不是可分的.