7.2.2 正项级数的审敛法

7.2.2.1 比较审敛法

设有两个正项级数

$$\begin{array}{}\text{(7.22a)}& a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.22b)}& b_1+b_2+\cdots +b_n+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\end{array}$$

$\left(a_n>0,b_n>0\right)$ ,若自某个 $n_0$ 后有 $a_n\ge b_n$ ,则有: 当级数 (7.22a) 收敛时,级数 (7.22b) 也收敛; 当级数 (7.22b) 发散时, 级数 (7.22a) 也发散. 前一情况中 (7.22a) 称为强收敛级数, 后一情况中 (7.22b) 称为强发散级数.

$◼\mathbf{A}$: 比较级数

$$\begin{array}{}\text{(7.23a)}& 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{n^n}+\cdots \end{array}$$

与几何级数 (7.15) 中的各项,有 (7.23a) 收敛. 事实上,自 $n=2$ 后,级数 (7.23a) 中的各项要小于收敛级数 (7.15) 中的各项:

$$\begin{array}{}\text{(7.23b)}& \frac{1}{n^n}<\frac{1}{2^{n-1}}\left(n\ge 2\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{B}$: 比较级数

$$\begin{array}{}\text{(7.24a)}& 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}+\cdots \end{array}$$

与调和级数 (7.16) 中的各项,有 (7.24a) 发散. 事实上,当 $n>1$ 时,级数 (7.2 中的各项要大于发散级数 (7.16) 中的各项:

$$\begin{array}{}\text{(7.24b)}& \frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{n}\left(n>1\right).\end{array}$$

7.2.2.2 达朗贝尔比值审敛法

设有正项级数

$$\begin{array}{}\text{(7.25a)}& a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.\end{array}$$

若自某个 $n_0$ 之后,所有的比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 都小于数 $q<1$ ,即

$$\begin{array}{}\text{(7.25b)}& \frac{a_{n+1}}{a_n}\le q<1\left(n\ge n_0\right),\end{array}$$

则级数收敛.

若自某个 $n_0$ 之后,所有的比值都大于 $Q>1$ ,则级数发散.

由上述两种论断, 有若极限

$$\begin{array}{}\text{(7.25c)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho \end{array}$$

存在,则当 $\rho <1$ 时级数收敛,当 $\rho >1$ 时级数发散. 当 $\rho =1$ 时,无法判断级数收敛与否.

$◼$ A: 级数

$$\begin{array}{}\text{(7.26a)}& \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}+\cdots \end{array}$$

收敛, 因为

$$\begin{array}{}\text{(7.26b)}& \rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}}:\frac{n}{2^n}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}<1.\end{array}$$

$◼\mathbf{B}$: 对于级数

$$\begin{array}{}\text{(7.27a)}& 2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+\cdots +\frac{n+1}{n^2}+\cdots ,\end{array}$$

因为

$$\begin{array}{}\text{(7.27b)}& \rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{n+2}{{(n+1)}^2}:\frac{n+1}{n^2}\right)=1,\end{array}$$

所以无法用比值审敛法判断收敛与否.

7.2.2.3 柯西根值审敛法

设有正项级数

$$\begin{array}{}\text{(7.28a)}& a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.\end{array}$$

若自某个 $n_0$ 之后,所有 $\sqrt[n]{a_n}$ 都满足

$$\begin{array}{}\text{(7.28b)}& \sqrt[n]{a_n}<q<1\end{array}$$

则级数收敛. 若自某个 $n_0$ 之后,所有 $\sqrt[n]{a_n}$ 都大于数 $Q$ ,其中 $Q>1$ ,则级数发散. 由前面的说明, 有若

$$\begin{array}{}\text{(7.28c)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\rho \end{array}$$

存在,则当 $\rho <1$ 时级数收敛,当 $\rho >1$ 时级数发散. 当 $\rho =1$ 时,无法判断级数收敛与否.

口 级数

$$\begin{array}{}\text{(7.29a)}& \frac{1}{2}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^4+{\left(\frac{3}{4}\right)}^9+\cdots +{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n^2}+\cdots \end{array}$$

收敛, 因为

$$\begin{array}{}\text{(7.29b)}& \rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n^2}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)}^n=\frac{1}{\mathrm{e}}<1.\end{array}$$

7.2.2.4 柯西积分审敛法

(1) 收敛 若级数的通项 $a_n=f\left(n\right)$ ,且 $f\left(x\right)$ 为单调递减函数并满足广义积

分

$$\begin{array}{}\text{(7.30)}& {\int }_c^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)\mathrm{d}x\text{(参见第 674 页 8.2.3.2,1.)}\end{array}$$

存在 (收敛), 则级数收敛.

(2) 发散 若上述积分 (7.30) 发散,则以 $a_n=f\left(n\right)$ 为通项的级数也发散.

积分下限 $c$ 几乎是任意的,只要满足函数 $f\left(x\right)$ 在 $c<x<\mathrm{\infty }$ 上单调递减即可.

$◼$ 级数 (7.27a) 发散, 因为

$$\begin{array}{}\text{(7.31)}& f\left(x\right)=\frac{x+1}{x^2},{\int }_c^{\mathrm{\infty }}\frac{x+1}{x^2}\mathrm{d}x={[\ln x-\frac{1}{x}]}_c^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }.\end{array}$$