11.3.2 分析的基础

1. 初步的途径

求解第一类弗雷德霍姆积分方程

$$\begin{array}{}\text{(11.41)}& f\left(x\right)={\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y\left(c\le x\le d\right)\end{array}$$

的几种方法把它的解确定为给定的一个函数系 $\left({\beta }_n\left(y\right)\right)=\left\{{\beta }_1\left(y\right),{\beta }_2\left(y\right),\cdots \right\}$ 的一个函数级数, 即, 寻求形如

$$\begin{array}{}\text{(11.42)}& \phi \left(y\right)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_j{\beta }_j\left(y\right)\end{array}$$

的解,要确定未知系数 $c_j$ . 选取函数组,要考虑到函数系 $\left({\beta }_n\left(y\right)\right)$ 必须生成整个解空间,也要考虑到应该容易计算诸系数 $c_j$ .

为了做一个简单的概述, 在本节中只讨论实函数. 所有的陈述亦可适用于复值函数. 由于解的方法,需要对核函数 $K\left(x,y\right)$ 的性质提出某些要求 (见 [11.3], [11.12]). 假定这些要求总是被满足的. 其次, 需要讨论某些相关的信息.

2. 平方可积函数

一个函数 $\psi \left(y\right)$ 在区间 $\left[a,b\right]$ 上是平方可积的(quadratically integrable),如果成立

$$\begin{array}{}\text{(11.43)}& {\int }_a^b{\left|\psi \left(y\right)\right|}^2\mathrm{d}y<\mathrm{\infty }.\end{array}$$

例如, $\left[a,b\right]$ 上的每个连续函数是平方可积的. 用 $L^2\left[a,b\right]$ 表示 $\left[a,b\right]$ 上的平方可积函数的空间.

3. 规范正交系

$\left[a,b\right]$ 上两个平方可积函数 ${\beta }_i\left(y\right),{\beta }_j\left(y\right)$ 被称为相互正交的,如果成立等式

$$\begin{array}{}\text{(11.44a)}& {\int }_a^b{\beta }_i\left(y\right){\beta }_j\left(y\right)\mathrm{d}y=0.\end{array}$$

空间 $L^2\left[a,b\right]$ 中的函数系 $\left({\beta }_n\left(y\right)\right)$ 被称为是一个规范正交系(orthonormal system), 如果下述等式为真:

$$\begin{array}{}\text{(11.44b)}& {\int }_a^b{\beta }_i\left(y\right){\beta }_j\left(y\right)\mathrm{d}y=\{\begin{array}{ll}1,& i=j,\\ 0,& i\ne j.\end{array}\end{array}$$

一个规范正交函数系是完全的(complete),如果在 $L^2\left[a,b\right]$ 中不存在与这个系中每个函数都正交的函数 $\tilde{\beta }\left(y\right)\ne 0$ . 一个规范正交系包含可数无穷多个函数. 这些函数形成空间 $L^2\left[a,b\right]$ 的一个基 (basis). 为了把一个函数系 $\left({\beta }_n\left(y\right)\right)$ 变为一个规范正交系 $\left({\beta }_n^{\ast }\left(y\right)\right)$ ,可以用施密特正交化过程 (Schmidt orthogonalization procedure). 这个过程逐次确定了系数 $b_{n1},b_{n2},\cdots ,b_{nn}\left(n=1,2,\cdots \right)$ ,使得函数

$$\begin{array}{}\text{(11.44c)}& {\beta }_n^{\ast }\left(y\right)=\sum _{j=1}^n{b}_{nj}{\beta }_j\left(y\right)\end{array}$$

是规范化的,并且正交于每个函数 ${\beta }_1^{\ast }\left(y\right),\cdots ,{\beta }_{n-1}^{\ast }\left(y\right)$ .

4. 傅里叶级数

如果 $\left({\beta }_n\left(y\right)\right)$ 是一个规范正交系,并且 $\psi \left(y\right)\in L^2\left[a,b\right]$ ,则把级数

$$\begin{array}{}\text{(11.45a)}& \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{d}_j{\beta }_j\left(y\right)=\psi \left(y\right)\end{array}$$

称为 $\psi \left(y\right)$ 关于 $\left({\beta }_n\left(y\right)\right)$ 的傅里叶级数,诸数 $d_j$ 是相应的傅里叶系数. 基于 (11.44b), 成立

$$\begin{array}{}\text{(11.45b)}& {\int }_a^b{\beta }_k\left(y\right)\psi \left(y\right)\mathrm{d}y=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{d}_j{\int }_a^b{\beta }_j\left(y\right){\beta }_k\left(y\right)\mathrm{d}y=d_k.\end{array}$$

如果 $\left({\beta }_n\left(y\right)\right)$ 是完全的,则帕塞瓦尔等式成立:

$$\begin{array}{}\text{(11.45c)}& {\int }_a^b{\left|\psi \left(y\right)\right|}^2\mathrm{d}y=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|d_j\right|}^2.\end{array}$$