4.5.2 解线性方程组

4.5.2.1 定义和可解性

1. 线性方程组

由 $m$ 个含 $n$ 个未知数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的线性方程形成的组

$$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=a_1,$$$$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=a_2,$$

......

$$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=a_m,$$

或简明地记为

$$\begin{array}{}\text{(4.177a)}& \mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}=\underset{―}{\mathbf{a}},\end{array}$$

称为线性方程组. 在此应用下列记号:

$$\begin{array}{}\text{(4.177b)}& \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),\underset{―}{\mathbf{a}}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right),\underset{―}{\mathbf{x}}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right).\end{array}$$

如果行向量 $\underset{―}{\mathbf{a}}$ 是零向量 $\left(\underset{―}{\mathbf{a}}=\underset{―}{\mathbf{0}}\right)$ ,那么方程组称为齐次方程组,不然称为非齐次方程组. 方程组的系数 $a_{\mu \nu }$ 是所谓系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的元素,列向量 $\underset{―}{\mathbf{a}}$ 的分量是常数项 (绝对项).

2. 线性方程组的可解性

如果一个线性方程组有解,即至少存在一个向量 $\underset{―}{x}=\underset{―}{\alpha }$ 使得 (4.177a) 是恒等式, 则称它是可解的或相容的, 或协调的. 不然称为是不相容的. 解的存在性和唯一性依赖于增广矩阵 $\left(\mathbf{A},\underset{―}{\mathbf{a}}\right)$ 的秩. 将向量 $\underset{―}{\mathbf{a}}$ 作为第 $n+1$ 行添加到矩阵 $\mathbf{A}$ ,就得到增广矩阵.

(1)非齐次线性方程组的一般法则 如果

$$\begin{array}{}\text{(4.178a)}& \mathrm{rank}\left(\mathbf{A}\right)=\mathrm{rank}\left(\mathbf{A},\underset{―}{\mathbf{a}}\right),\end{array}$$

那么非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}=\underset{―}{\mathbf{a}}$ 至少有一个解. 此外,如果 $r$ 表示 $\mathbf{A}$ 的秩,即 $r=\mathrm{rank}\left(\mathbf{A}\right)$ ,那么

a) 当 $r=n$ 时方程组有唯一解;(4.178b)

b) 当 $r<n$ 时方程组有无穷多个解,(4.178c)

即 $n-r$ 个未知数的值作为参数可以自由选取.

$◼\mathbf{A}$ :

$$x_1-2x_2+3x_3-x_4+2x_5=2,$$$$3x_1-x_2+5x_3-3x_4-x_5=6,$$$$2x_1+x_2+2x_3-2x_4-3x_5=8.$$

$\mathbf{A}$ 的秩是 2,系数增广矩阵 $\left(\mathbf{A},\underset{―}{\mathbf{a}}\right)$ 的秩是 3,所以方程组不相容.

$◼\mathbf{B}$ :

$$x_1-x_2+2x_3=1,$$$$x_1-2x_2-x_3=2,$$$$3x_1-x_2+5x_3=3,$$$$-2x_1+2x_2+3x_3=-4.$$

矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\left(\mathbf{A},\underset{―}{\mathbf{a}}\right)$ 的秩都等于 3 . 因为 $r=n=3$ ,所以方程组有唯一解 $x_1=$ $\frac{10}{7},x_2=-\frac{1}{7},x_3=-\frac{2}{7}$ .

$◼\mathbf{C}$ :

$$x_1-x_2+x_3-x_4=1,$$$$x_1-x_2-x_3+x_4=0,$$$$x_1-x_2-2x_3+2x_4=-\frac{1}{2}.$$

矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\left(\mathbf{A},\underset{―}{\mathbf{a}}\right)$ 的秩都等于 2. 方程组相容,但因为 $r<n$ ,所以解不唯一. 因此 $n-r=2$ 个未知数可以考虑作为自由参数: $x_2=x_1-\frac{1}{2},x_3=x_4+\frac{1}{2}(x_1,x_4$ 取任意值).

$◼\mathbf{D}$ :

$$x_1+2x_2-x_3+x_4=1,$$$$2x_1-x_2+2x_3+2x_4=2,$$$$3x_1+x_2+x_3+3x_4=3,$$$$x_1-3x_2+3x_3+x_4=0.$$

方程个数与未知数个数相等,但因为 $\mathrm{rank}\left(\mathbf{A}\right)=2$ ,而 $\mathrm{rank}\left(\mathbf{A},\underset{―}{\mathbf{a}}\right)=3$ ,所以方程组无解.

(2)齐次线性方程组的平凡解和基本解

a) 齐次方程组 $A\underset{―}{x}=\underset{―}{0}$ 总有一个解,即所谓平凡解

$$\begin{array}{}\text{(4.179a)}& x_1=x_2=\cdots =x_n=0.\end{array}$$

(等式 $\mathrm{rank}\left(\mathbf{A}\right)=\mathrm{rank}\left(\mathbf{A},\underset{―}{\mathbf{0}}\right)$ 总成立.)

b) 如果齐次方程组有非平凡解 $\underset{―}{\alpha }=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 和 $\underset{―}{\beta }=\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right)$ , 即 $\underset{―}{\alpha }\ne \underset{―}{0}$ ,并且 $\underset{―}{\beta }\ne \underset{―}{0}$ ,那么 $\underset{―}{x}=s\underset{―}{\alpha }+l\underset{―}{\beta }$ (其中 $s,l$ 是任意常数) 也是一个解,即解的任何线性组合也是一个解.

设方程组恰有 $l$ 个线性无关的非平凡解 ${\underset{―}{\alpha }}_1,{\underset{―}{\alpha }}_2,\cdots ,{\underset{―}{\alpha }}_l$ ,那么这些解形成所谓解的基本系(参见第 732 页 9.1.2.3, 2.), 并且齐次方程组的一般解有形式

$$\begin{array}{}\text{(4.179b)}& \underset{―}{\mathbf{x}}=k_1{\underset{―}{\alpha }}_1+k_2{\underset{―}{\alpha }}_2+\cdots +k_l{\underset{―}{\alpha }}_l(k_1,k_2,\cdots ,k_l\text{是任意常数})\text{.}\end{array}$$

如果齐次方程组的系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩 $r$ 小于未知数的个数 $n$ ,即 $r<n$ ,那么方程组有 $l=n-r$ 个线性无关的非平凡解. 如果 $r=n$ ,那么解唯一,即齐次方程组仅有平凡解.

在 $r<n$ 的情形下,为确定基本系可以选取 $n-r$ 个未知数作为自由参数,并且通过它们表示出其他未知数. 如果重新排列方程和未知数,使得左上角 $r$ 阶子行列式不等于零, 那么可得 (例如)

$$x_1=x_1\left(x_{r+1},x_{r+2},\cdots ,x_n\right),$$$$\begin{array}{}\text{(4.180)}& x_2=x_2\left(x_{r+1},x_{r+2},\cdots ,x_n\right),\end{array}$$$$......$$$$x_r=x_r\left(x_{r+1},x_{r+2},\cdots ,x_n\right).$$

于是选取自由参数, 我们可以得到一个 (例如) 下列形式的基本系:(4.181)

	$x_{r+1}$	$x_{r+2}$	$x_{r+3}$	...	$x_n$
第 1 个基本解:	1	0	0	...	0
第 2 个基本解:	0	1	0		0
	$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$
第 $n-r$ 个基本解:	0	0	0	...	1

$◼\mathbf{E}$ :

$$x_1-x_2+5x_3-x_4=0,$$$$x_1+x_2-2x_3+3x_4=0,$$$$3x_1-x_2+8x_3+x_4=0,$$$$x_1+3x_2-9x_3+7x_4=0.$$

矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩等于 2 . 由方程组解出 $x_1$ 和 $x_2$ 得到 $x_1=-\frac{3}{2}{x}_3-x_4,x_2=\frac{7}{2}{x}_3-$ $2x_4(x_3,x_4$ 任意). 基本解是

$${\underset{―}{\alpha }}_1={(-\frac{3}{2},\frac{7}{2},1,0)}^{\mathrm{T}},{\underset{―}{\alpha }}_2={(-1,-2,0,1)}^{\mathrm{T}}.$$

4.5.2.2 选主元法的应用

1. 与线性方程组对应的线性函数组

为解 (4.177a) 对于方程组 $\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}=\underset{―}{\mathbf{a}}$ 确定一组线性函数 $\underset{―}{\mathbf{y}}=\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}-\underset{―}{\mathbf{a}}$ ,使得有可能应用选主元法 (参见第 410 页 4.5.1.2):

$$\begin{array}{}\text{(4.182a)}& A\underset{―}{x}=\underset{―}{a}\end{array}$$

等价于

$$\begin{array}{}\text{(4.182b)}& \underset{―}{y}=A\underset{―}{x}-\underset{―}{a}=\underset{―}{0}.\end{array}$$

$\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵, $\underset{―}{\mathbf{a}}$ 是有 $m$ 个分量的列向量,即方程个数 $m$ 未必等于未知数个数 $n$ . 完成选主元法后我们作代换 $\underset{―}{y}=\underset{―}{0}.A\underset{―}{x}=\underset{―}{a}$ 的解的存在性和唯一性可以直接从选主元法的最后格式得到.

2. 线性方程组的可解性

如果对于对应的线性函数 (4.182b) 下列两种情形之一成立, 那么线性方程组 (4.182) 有解:

情形 1: 所有 $y_{\mu }\left(\mu =1,2,\cdots ,m\right)$ 都可以与某个 $x_{\nu }$ 调换. 这意味着对应的线性函数组是线性无关的.

情形 2: 至少有一个 $y_{\sigma }$ 不可能与任何 $x_{\nu }$ 调换,即

$$\begin{array}{}\text{(4.183)}& y_{\sigma }={\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2+\cdots +{\lambda }_m{y}_m+{\lambda }_0\end{array}$$

成立,并且还有 ${\lambda }_0=0$ . 这意味着对应的线性函数组是线性相关的.

3. 线性方程组的不相容性

如果上面的情形 2 中 ${\lambda }_0\ne 0$ ,那么线性方程组无解. 在此情形方程组中有互相矛盾的方程.

$$x_1-2x_2+4x_3-x_4=2,$$$$-3x_1+3x_2-3x_3+4x_4=3,$$$$2x_1-3x_2+5x_3-3x_4=-1.$$

$◼$ 3 次选主元步骤后 (例如 $y_1\to x_1,y_3\to x_4,y_2\to x_2$ ) 下列左表变成右表:

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	1
$y_1$	1	-2	4	-1	-2
$y_2$	-3	3	-3	4	-3
$y_3$	2	-3	5	-3	1

	$y_1$	$y_2$	$x_3$	$y_3$	1
$x_1$	3		2	$-\frac{5}{2}$	1
$x_2$	1 2	1 2	3	1	-2
$x_4$	3 2	1 2	0	$-\frac{3}{2}$	3

这个计算结果出现情形 1: $y_1,y_2,y_3$ 和 $x_3$ 是独立变量. 代入 $y_1=y_2=y_3=0$ 及 $x_3=t\left(-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }\text{是参数}\right)$ ,因而解是

$$x_1=2t+1,x_2=3t-2,x_3=t,x_4=3.$$

4.5.2.3 克拉默法则

一个非常重要的特殊情形是当方程个数等于未知数个数:

$$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=a_1,$$$$\begin{array}{}\text{(4.184a)}& a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=a_2,\end{array}$$

......

$$a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=a_n,$$

并且系数行列式不为零, 即

$$\begin{array}{}\text{(4.184b)}& D=det\mathbf{A}\ne 0.\end{array}$$

在此情形方程组 (4.184a) 的唯一解可用明显且唯一的形式给出:

$$\begin{array}{}\text{(4.184c)}& x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots ,x_n=\frac{D_n}{D}.\end{array}$$

$D_{\nu }$ 表示用常数项 $a_{\mu }$ 代替 $D$ 的第 $\nu$ 列的元素 $a_{\mu \nu }$ 得到的行列式,例如

$$\begin{array}{}\text{(4.184d)}& D_2=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_1& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_2& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_n& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

如果 $D=0$ 并且至少有一个 $D_{\nu }\ne 0$ ,那么方程组 (4.184a) 无解.

在 $D=0$ ,并且 $D_{\nu }=0$ (对所有 $\nu =1,2,\cdots ,n$ ) 的情形,方程组可能有解但不唯一 (参见第 417 页注).

$$\text{-}2x_1+x_2+3x_3=9\text{,}$$$$x_1-2x_2+x_3=-2,$$$$3x_1+2x_2+2x_3=7.$$$$D=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& -2& 1\\ 3& 2& 2\end{array}\right|=13,D_1=\left|\begin{array}{ccc}9& 1& 3\\ -2& -2& 1\\ 7& 2& 2\end{array}\right|=-13,$$$$D_2=\left|\begin{array}{ccc}2& 9& 3\\ 1& -2& 1\\ 3& 7& 2\end{array}\right|=26,D_3=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 9\\ 1& -2& -2\\ 3& 2& 7\end{array}\right|=39.$$

方程组有唯一解

$$x_1=\frac{D_1}{D}=-1,x_2=\frac{D_2}{D}=2,x_3=\frac{D_3}{D}=3.$$

注 从实用性考虑, 克拉默法则对于高维问题不适用. 因为问题的维数增加时所要求的运算量很快增加, 所以对于线性方程组的数值解我们应用高斯算法, 或选主元法, 以及迭代程序 (参见第 1233 页 19.1.1).

4.5.2.4 高斯算法

(1)高斯消元法 为了解 $m$ 个含 $n$ 个未知数的方程组成的线性方程组 (4.177a) $\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}=\underset{―}{\mathbf{a}}$ ,我们可以应用高斯消元法. 借助一个方程,从所有其他方程中消去某个未知数. 于是我们得到一个含 $m-1$ 个方程和 $n-1$ 个未知数的方程组. 重复应用这个方法, 直到得到行阶梯形方程组, 于是容易从这个形式确定解的存在性和唯一性, 并且若解存在则可求出这个解.

(2) 高斯步骤 第一高斯步骤是在系数增广矩阵 $\left(\mathbf{A},\underset{―}{\mathbf{a}}\right)$ 上演示的:

设 $a_{11}\ne 0$ ,不然将另一方程调换为第一个方程. 在矩阵

$$\begin{array}{}\text{(4.185a)}& \left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& a_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& a_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& a_m\end{array}\right)\end{array}$$

中,用适当的数乘第 1 行加到所有其他的行使得其中 $x_1$ 的系数等于零,也就是用 $-\frac{a_{21}}{a_{11}},-\frac{a_{31}}{a_{11}},\cdots ,-\frac{a_{m1}}{a_{11}}$ 乘第 1 行,然后分别加到第 2 行,第 3 行, $\cdots$ ,第 $m$ 行. 变换后的矩阵有形式

$$\begin{array}{}\text{(4.185b)}& \left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& a_1\\ 0& a_{22}^{\prime }& \cdots & a_{2n}^{\prime }& a_2^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& a_{m2}^{\prime }& \cdots & a_{mn}^{\prime }& a_{mn}^{\prime }\end{array}\right)\end{array}$$

应用高斯步骤(r - 1)次,结果为行梯形矩阵:

$$\begin{array}{}\text{(4.186)}& \left(\begin{array}{ccccccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1r},r& a_{1,r+1}& \cdots & a_{1n}& a_1\\ 0& a_{22}^{\prime }& a_{23}^{\prime }& \cdots & a_{2r}^{\prime },r& a_{2,r+1}^{\prime }& \cdots & a_{2n}^{\prime }& a_2^{\prime }\\ 0& 0& a_{33}^{\prime \prime }& \cdots & a_{3r}^{\prime \prime },r& a_{3,r+1}^{\prime \prime }& \cdots & a_{3n}^{\prime \prime }& a_3^{\prime \prime }\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \\ 0& 0& 0& \cdots & a_{rr}^{\prime \prime -1}& a_{rr}^{\prime \left(r-1\right)}& \cdots & a_{rr}^{(r-1)}& a_r^{(r-1)}\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& a_{rr}^{(r-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& a_{rr}^{(r-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& a_{rr}^{(r-1)}\end{array}\right).\end{array}$$

(3) 解的存在性和唯一性 高斯算法步骤基本上是行运算, 所以不影响矩阵 $\left(\mathbf{A},\underset{―}{\mathbf{a}}\right)$ 的秩,从而解的存在性和唯一性以及解本身都不会改变. 公式 (4.186) 蕴涵关于非齐次线性方程组的解有可能出现下列一些情形:

情形 1: 如果每个数 $a_{r+1}^{(r-1)},a_{r+2}^{(r-1)},\cdots ,a_m^{(r-1)}$ 都不为零,则方程组无解.

情形 2: 如果 $a_{r+1}^{(r-1)}=a_{r+2}^{(r-1)}=\cdots =a_m^{(r-1)}=0$ ,则方程组有解. 此时存在两种情形:

**a) $r\ast \ast =n$ : 解唯一.

**b) $r\ast \ast <n$ : 解不唯一; $n-r$ 个未知数可选作自由参数.

如果方程组有解, 那么未知数可以从具有行阶梯形矩阵 (4.186) 的方程组的最后一行开始逐次确定.

$◼$ $\mathbf{A}$ :

$$x_1+2x_2+3x_3+4x_4=-2,$$$$2x_1+3x_2+4x_3+x_4=2,$$$$3x_1+4x_2+x_3+2x_4=2,$$$$4x_1+x_2+2x_3+3x_4=-2.$$

实施 3 次高斯步骤后系数增广矩阵有形式

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& -2\\ 0& -1& -2& -7& 6\\ 0& 0& -4& 4& -4\\ 0& 0& 0& 40& -40\end{array}\right)$$

解唯一,并且由与三角矩阵对应的方程组求出 $x_4=-1,x_3=0,x_2=1,x_1=0$ .

$◼\mathbf{B}$:

$$-x_1-3x_2-12x_3=-5,$$$$-x_1+2x_2+5x_3=2,$$$$5x_2+17x_3=7$$$$3x_1-x_2+2x_3=1,$$$$7x_1-4x_2-x_3=0.$$

实施 2 次高斯步骤后系数增广矩阵有形式

$$\left(\begin{array}{ccccc}-1& -3& -12& & -5\\ 0& 5& 17& & 7\\ 0& 0& 0& & 0\\ 0& 0& 0& & 0\\ 0& 0& 0& & 0\end{array}\right).$$

有解但不唯一. 选取一个未知数作为自由参数,例如,取 $x_3=t\left(-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }\right)$ ,我们得到 $x_3=t,x_2=\frac{7}{5}-\frac{17}{5}t,x_1=\frac{4}{5}-\frac{9}{5}t$ .