5.7.1 定义

集合 $B$ 、两个运算 $\mathrm{\Pi }$ (“合取”) 和 $\bigsqcup$ (“析取”)、一元运算 (“否定”),以及 $B$ 中的两个不同的 (中性) 元素 0 和 1 一起称为布尔代数 $B=\left(B,\sqcap ,\bigsqcup ,{}^{-},0,1\right)$ ,如果

它们具有下列性质:

(1) 结合律

$$\begin{array}{}\text{(5.284)}& \left(a\sqcap b\right)\sqcap c=a\sqcap \left(b\sqcap c\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.285)}& \left(a\bigsqcup b\right)\bigsqcup c=a\bigsqcup \left(b\bigsqcup c\right).\end{array}$$

(2) 交换律

$$\begin{array}{}\text{(5.286)}& a\sqcap b=b\sqcap a,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.287)}& a\bigsqcup b=b\bigsqcup a.\end{array}$$

(3) 吸收律

$$\begin{array}{}\text{(5.288)}& a\sqcap \left(a\bigsqcup b\right)=a,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.289)}& a\bigsqcup \left(a\sqcap b\right)=a.\end{array}$$

(4) 分配律

$$\begin{array}{}\text{(5.290)}& \left(a\bigsqcup b\right)\sqcap c=\left(a\sqcap b\right)\bigsqcup \left(b\sqcap c\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.291)}& \left(a\sqcap b\right)\bigsqcup c=\left(a\bigsqcup b\right)\sqcap \left(b\bigsqcup c\right).\end{array}$$

(5) 中性元素

$$\begin{array}{}\text{(5.292)}& a\sqcap 1=a,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.293)}& a\bigsqcup 0=a.\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.294)}& a\sqcap 0=0,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.295)}& a\bigsqcup 1=1\text{.}\end{array}$$

(6) 补

$$\begin{array}{}\text{(5.296)}& a\sqcap \overline{a}=0,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.297)}& a\bigsqcup \overline{a}=1\text{.}\end{array}$$

一个具有结合律、交换律和吸收律的结构称为格. 如果分配律也成立, 那么这个格称作分配格. 因此布尔代数是一个特殊的分配格

注 应用于布尔代数的记号不一定与命题演算中的运算记号相同.