16.1.3 排列

1. 定义

排列是从 $n$ 个不同元素中任取 $k$ 个元素并排序,即排列是考虑元素顺序的组合.

2. 无重复排列数

从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个不同元素,且依不同顺序进行排列,其排列数 ${\mathrm{V}}_n^{\left(k\right)}$ 是

$$\begin{array}{}\text{(16.6)}& {\mathrm{V}}_n^{\left(k\right)}=k!\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots \left(n-k+1\right)\left(0\le k\le n\right).\end{array}$$

$◼$ 在一次选举会议上, 要从 30 位候选人中选出一名主席、一名副主席, 以及第一助理和第二助理各一名,共有多少种不同的选举方法? 答案是 $\left(\begin{array}{c}30\\ 4\end{array}\right)4!=657720$ 种.

3. 有重复排列数

从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个元素,按照一定的顺序排成一列,其中每个元素可取任意多次, 称为有重复排列. 其排列数是

$$\begin{array}{}\text{(16.7)}& {\mathrm{V}}_n^{\left(k\right)}=n^k.\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: 一场有 12 支队伍的 Toto 杯足球赛,共有 $3^{12}$ 种不同的比赛结果.

$◼\mathbf{B}$: 使用 8 位数字单元,也称为一个字节,可表示 $2^8=256$ 个不同字符 (例子可参见著名的 ASCII 表).