12.5.5 线性泛函的延拓

1. 准范数

设 $X$ 为向量空间,映射 $p:X\to \mathbb{R}$ 称作准范数或拟范数,是指它具有如下性质:

(NH1) $p\left(x\right)\ge 0$ ,(12.168)

(NH2) $p\left(\alpha x\right)=\left|\alpha \right|p\left(x\right)$ ,(12.169)

(NH3) $p\left(x+y\right)\le p\left(x\right)+p\left(y\right)$ .(12.170)

比较 874 页 12.3.1,表明准范数是范数当且仅当 $p\left(x\right)=0$ 仅对 $x=0$ 成立

无论是从理论数学本身, 还是数学应用中的实际需要, 将给定在一线性子空间 $X_0\subset X$ 上的线性泛函延拓到整个空间 (同时也是为避免无足轻重和无意义情形出现) 并使之保持某些 “好” 的性质, 都是一个具有基本重要性的问题. 下面的定理确保该问题的解决.

2. 哈恩-巴拿赫定理的解析形式

设 $X$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间, $p$ 是 $X$ 上的拟范数. 设 $X_0$ 是 $X$ 的线性 (在 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 情形为复,而在 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 情形为实) 子空间,并设 $f_0$ 是 $X_0$ 上 (在 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 情形为复值,而在 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 情形为实值) 线性泛函,满足关系

$$\begin{array}{}\text{(12.171)}& \left|f_0\left(x\right)\right|\le p\left(x\right),\mathrm{\forall }x\in X_0.\end{array}$$

那么存在 $X$ 上一线性泛函 $f$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(12.172)}& f\left(x\right)=f_0\left(x\right),\mathrm{\forall }x\in X_0,\left|f\left(x\right)\right|\le p\left(x\right),\mathrm{\forall }x\in X.\end{array}$$

于是 $f$ 是 $f_0$ 在整个 $X$ 上的延拓,并保持了关系 (12.171). 如果 $X_0$ 是赋范空间 $X$ 的线性子空间,并且 $f_0$ 是 $X_0$ 上的连续线性泛函,那么 $p\left(x\right)=\Vert \begin{array}{c}{f}_0\end{array}\Vert \cdot \parallel x\parallel$ 是 $X_0$ 上满足 (12.171) 的拟范数, 由此得到连续线性泛函的哈恩-巴拿赫延拓定理.

两个重要的推论是:

(1) 对于每一元 $x\ne 0$ ,存在一泛函 $f\in X^{\ast }$ 使得 $f\left(x\right)=\parallel x\parallel ,\parallel f\parallel =1$ .

(2) 对于每一线性子空间 $X_0\subset X$ 和 $x_0\notin X_0$ ,并且距离 $d=\underset{x\in X_0}{inf}\parallel x-$ $x_0\parallel >0$ ,则存在 $f\in X^{\ast }$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(12.173)}& f\left(x\right)=0,\mathrm{\forall }x\in X_0,f\left(x_0\right)=1\text{ 和 }\parallel f\parallel =\frac{1}{d}.\end{array}$$